阅读与思考 向量及向量符号的由来国家优质课一等奖

贵州省毕节梁才学校

导学案

贵州省毕节梁才学校高2017级数学导学案

§2.1 平面向量的实际背景及基本概念

高一数学组 陈中照

教学目标：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、

单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2.

通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3.

通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.

教学难点：向量的表示、有向线段和向量区别、平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学

法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可在原有的位移、力等物理概念来学习向

量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 授课类型：新授课

教学思路：

一、情景设置：

引入一: 猫和老鼠

问题: 一只老鼠和一只猫相距６米，老鼠以每秒４米的速度逃窜,猫以每秒７米的速度追,猫在多少时间里会追上老鼠？

引入二: 南辕北辙

问题: 战国后期，魏国国力渐衰,可是魏王想出兵攻伐赵国.谋臣季梁前来劝阻伐赵。季梁为了打动魏王，来了个现身说法。季梁说:“今天我在来此的路上，遇见一个人坐车朝北而行，告诉臣说‘我想要去楚国。’臣说‘楚国在南方，为什么要朝北走？’那人的回答是：

‘我的马好，跑得快。’

‘我的路费多着呢。’

‘我的马夫最会赶车。’”

结论：猫的速度再快也没用，因为 .马再好,路费再多,马夫再会赶车都没有用,因为 . 引言：请同学指出物理中我们学习了哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？

二、新课学习：

（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量

数量与向量的区别：

数量:只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量:有方向，大小，双重性，不能比较大小. 练习1: 判断题 1. 身高是一个向量 （ ）

2. 温度含零上和零下温度，所以温度是向量

（ ）

3. 坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量 （ ） 教育是一种心与心的交流,用心是唯一捷径!

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(二) 向量的表示: 向量的几何表示: 是向量的几何直观表示 . a

B （终点）

A(起点) 向量的符号表示: 1. 有向线段的起点A和终点B的表示: . 2. 用字母上加箭头表示: . 3. 用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示.

向量的方向和大小: 1. 方向: 有向线段的方向表示(箭头); 2.

大小:有向线段的长度表示称为向量的模,记为: . 两个特殊向量: 1.

零向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作 .

零向量的方向是任意的. (注意:

0与0的含义与书写区别) 2.

单位向量概念:长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. (说明：

零向量、单位向量的定义都只是限制了大小) ☺思考:向量与有向线段的区别：

1: 向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

2: 有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.

练习2: 判断题 1.两个向量相同，则起点相同终点相同.（ ）

2.向量的模是一个正实数. （ ）

3.若|a|>|b| ，则a

> b. （ ）

思考:向量之间不能比较大小，那向量间会存在什么样的关系呢？

（三）向量间的关系

相等向量定义：

长度 且方向 的向量叫相等向量. 说明: 1.向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；

2.我们规定零向量与零向量相等；

3.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. ．．．．．．．．．．平行向量定义：

1.

方向 或 的非零向量叫平行向量；

2.

我们规定0与任一向量平行. 说明：①综合1、2才是平行向量的完整定义；②向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 共线向量定义: 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）. ．．．．．．．．．．．说明：1.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

3.

共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 教育是一种心与心的交流,用心是唯一捷径!

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思考: 1.两个单位向量一定相等吗？

2.相等向量一定是平行向量吗?平行向量一定是相等向量吗? 3.共线向量一定在一条直线上吗？

4.把所有单位向量的起点平移到同一起点P,向量的终点的集合是什么图形?

三、理解和巩固：

例1 判断：

（1）所有的单位向量都相等. （ ）

（2）平行向量一定方向相同. （ ）

（3）不相等的向量一定不平行. （ ） （4）与零向量相等的向量必定是零向量向量. （ ）

（5）与任意向量都平行的向量是零向量向量. （ ）

（6）共线向量一定在一条直线上. （ ）

（7）若两向量平行,则这两向量的方向相同或相反. （ ）

（8）相等向量一定是平行向量. （ ）

（9）向量a与b不共线，则a与b都是非零向量. （ ）

例2 如下图所示，设O是正六边形ABCDEF的中心。分别写出图中与OA,OB,OC相等的向量.

D E C F B A 例3 如图，某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈，他可按图中提供的向量行走，则将这些向量按顺序排列为 .

Aab

B

DC

Eced

教育是一种心与心的交流,用心是唯一捷径!

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四、拓展提升：

习题1: 如图,D、E、F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF是平行四边形，请分别写出：

（1）与CM模相等且共线的向量； （2）与ED相等的向量；

习题2: 如图,在45方格纸中有一个向量AB,以图中的格点为起点和终点作向量,其中与AB相等的向量有多少个? 与AB长度相等的共线向量有多少个?(AB除外)

五、小结反思: 学生自主小结

注意两个难点: 向量几何表示

共线向量概念

六、作业布置:

书本77页习题2.1第1、3、5题

A

B

教育是一种心与心的交流,用心是唯一捷径!

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