2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示板书设计及设计说明

数学必修4导学案 主备人：胡显军 第4课时

平面向量基本定理、

平面向量的正交分解及坐标表示

学习目标

1.掌握平面向量基本定理.

2.了解平面向量基本定理的意义.

3.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 4.通过对基本定理和正交分解的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力. 重难点

重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义.

难点:平面向量基本定理的运用.

问题3:向量的坐标表示:如图,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,a为坐标平面的任一向量,以坐标原点为起点作OAa,由平面向量

基本定理,有且只有一对实数x、y使得a=xiyj,我们把有序数对(x,y) 叫作向量a的坐标,记作

,其中x叫作a在x轴上的坐标,y叫作a在y轴上的坐标. 问题4:说说点的坐标与向量坐标的联系与区别

(1)区别: ①表示形式不同,向量a=(x,y)中间用等号连接,而点的坐标A(x,y)中间没有等号. ②意义不同,点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置,a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向,另外(x,y)既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). (2)联系:当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 二、学法交流

1.已知i,j分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,若a=(3,4),则a可以用i,j表示为( ). A.a3i4j

B.a3i4j C.a3i4j

D.a4i3j

一、情景创设 知识引入

在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算,而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢? 问题1: 平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内两个

的向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数

,使a=1e12e2.其中,我们把不共线的向量e1、e2叫作表示这一平面内所有向量的一组

.

2.已知a,b是不共线的两个向量,m、n∈R且manb0,则(

). 问题2: 两向量的夹角与垂直:如图,已知两个非零向量a和b.作OAa,OBb,则A.ab0

B.m=n=0 C.m=0,b0 D.n=0,a0

∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的

.特别地, 3.设不共线向量a,b的长度分别为4和3,||=5,则a和b的夹角为

.

(1)

(2)

(3)

当θ=

时,a与b同向; 当θ= 时,a与b反向; 当θ= 时,a与b垂直,记作 .

4.如图,已知在梯形ABCD中,AB∥DC,且AB=2CD,abE、F分别是DC、AB的中点,设ADa,ABb,试用a,b为基底表示DC、BC、EF.

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数学必修4导学案 主备人：胡显军

三、牛刀小试

向量坐标表示的有关概念

例一、已知下列命题,判断它们的对错. (1)若a//b,则必存在唯一的实数λ,使得ba; (2)若manb,则m=n(m,n∈R);

(3)若e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底,则向量e1+e2,e1-e2也能作为一组基底; (4)若ae1be2ce1de2(a,b,c,d∈R),则a=c,b=d; (5)在等边△ABC中,AB,BC的夹角为60°.

平面向量基本定理的应用

例二、已知平行四边形ABCD的边BC,CD上的中点分别是M,N,且AEe1,ANe2,试用、

四、能力测试

1.已知i、,则a的坐j分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,若a（3ij）（6ij）标为(

). A.(3,6)

B.(-3,9) C.(3,9) D.(-3,-9) 2.已知a、b不共线,且c1a2b(1，2R),若c与b共线,则1等于(

). A.0

B.1

C.-1

D.1

23.O为平行四边形ABCD的中心,AB4e1,BC6e2,,则3e12e2等于(

).

A.AO

B.BO

C.CO

D.DO

4.若a=e13e2，b=4e12e2,c=3e112e2,则a写成1b2c的形式是

.

5.已知e1,e2是平面内不共线的两个向量,a=3e1-2e2，b=-2e1e2,c=7e1-4e2.试用a,b表示c

6.如图,把一腰长为3,底角为30°的等腰三角形放在平面坐标系xOy内i,j分别为与x轴,y轴方向相同的两个单位向量.用i,j分别表示向量OA,OB,并写出A,B的坐标.

五、思维导图

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CD.

e1,e2分别表示BC、

向量坐标表示的应用

例三、在平面直角坐标系xOy中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分别计算出它们的坐标.

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六、学习反思

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