2.1.3 相等向量与共线向量教学设计(第二课时)

§2.1

平面向量基本概念

内容要求

1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别(重点、难点).2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量(重点).3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念(易错点)．

知识点1向量的定义及表示

1．定义：既有大小，又有方向的量．

2．表示：

(1)有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度；

(2)向量的表示：

【预习评价】

(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量就是有向线段．(

) (2)如果|AB→| >|CD→|，那么AB→>CD→.(

) (3)力、速度

和质量都是向量．(

) 知识点2

向量的有关概念

向量名称

定义

零向量

长度为0的向量，记作0 单位向量

长度等于1个单位

的向量

平行向量

方向相同或相反

的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b，(共线向量)

规定：零向量与任一向量平行

相等向量

长度相等

且方向相同

的向量；向量a，b相等，记作a＝b

【预习评价】

(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a，b都是单位向量，则a＝b.(

) (2)若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同．(

) (3)零向量的大小为0，没有方向．(

) 提示

(1)×，a与b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，但a与b方向可能不同．

(2)√，若a＝b，则a与b的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同．

(3)×，任何向量都有方向，零向量的方向是任意的．

题型一

向量的有关概念、零向量、单位向量

【例1】

判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．

（1）向量AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D四点必在一直线上；

（2）单位向量都相等；

（3）任一向量与它的相反向量不相等；

（4）四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB→＝DC→；

（5）一个向量方向不确定当且仅当模为0；

（6）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．

规律方法

概念性问题的判断方法

对于向量的相关概念问题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于一些似是而非的概念一定要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线段是向量的表示形式，并不等同于向量，还有如单位向量，单位向量只是从模的角度定义的，与方向无关．零向量的模为零，方向则是任意的．

【训练1】

判断下列命题是否正确，并说明理由．

(1)若a≠b，则a一定不与b共线；

(2)若AB→＝DC→，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；

(3)在平行四边形ABCD中，一定有AB→＝DC→；

(4)若向量a与任一向量b平行，则a＝0；

(5)若a＝b，b＝c，则a＝c；

（6）若a∥b，b∥c，则a∥c．

题型二

相等向量与共线向量

【例2】

如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c．

(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？

(2)与a共线的向量有哪些？

(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．

规律方法

相等向量与共线向量的探求方法

(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．

(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．

【训练2】

如图，已知四边形ABCD为▱ABCD，则

(1)与OA→的模相等的向量有多少个？

(2)与OA→的模相等、方向相反的向量有哪些？

(3)写出与AB→共线的向量．

题型三

向量的表示及应用

【例3】

一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile处有一艘渔船抛锚需救助．试求：

(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；

(2)巡逻艇从港口出发到出事地点之间的位移．

规律方法

平面向量在实际生活中的应用

生活中很多问题可以归结为向量的问题，如力、速度、位移等，因此运用向量的知识进行解答可使问题简化，易于求解．解答时，一般先把实际问题用图示表示出来，然后围绕线段的长度(即向量的模)和方向(求某个角)进行求解．

【训练3】

一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变

方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．

→，BC→，CD→；

(1)作出向量AB→|．

(2)求|AD

课堂达标

1．下列说法错误的是(

) A．若a＝0，则|a|＝0 C．零向量与任一向量平行

2．下列结论正确的个数是(

) ①温度含零上和零下，所以温度是向量；

②向量的模是一个正实数；

③)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；

④若|a|>|b|，则a>b．

A．0

C．2

B．1

D．3 B．零向量是没有方向的

D．零向量的方向是任意的

→和向量BA→长度相等；

①向量AB②向量0＝0；

→大于向量CD→；

③向量AB④单位向量都相等．

其中，正确的说法是________(填序号)．

5．在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1．

(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；

(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？

课堂小结

1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．

2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．

3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．

→与DC→的关系是(

) 3．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量AB→＝DC→

A．AB→>DC→

C．AB4．有下列说法：

→|＝|DC→| B．|AB→

D．AB