阅读与思考 三角学与天文学教学实录与评析

导学案

单位：长宁中学

主讲：孙志刚

年级：高一

课题：任意角

第一章三角函数

1.1.1

任意角

学习目标：

（1）

结合具体实例，认识角的概念推广的必要性； （2）

初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角，并能熟练写出与已知角终边相同的角的集合．

学习重点、难点： 重点：将0°～360°的角的概念推广到任意角．

难点：角的概念推广；终边相同的角的表示．

学习过程： 问题提出: 1.角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小的. 在平面几何中，角的取值范围如何？

2. 在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体1080°”、

“转体1260°”

这样的解说．

知识探究（一）：角的概念的推广

复习：角的定义

角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形

如图，一条射线的端点是O，它从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成了一个角α，其中点O，射线OA、OB分别叫什么名称？

思考1：你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60度所形成的角，与按顺时针方向旋转60度所形成的角是否相等？

1. 正角、负角、零角

规定：

按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。

按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．

如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角. 思考2：对于α＝210°，

β＝－150°，＝－660°，你能用图形表示这些角吗？

知识探究（二）：象限角

思考1：为了研究的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？

2.象限角

如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角（象间角）.

思考2：下列各角：-50°，405°，210°, -200°，－450°分别是第几象限的角？

思考3：锐角与第一象限的角是什么关系？钝角与第二象限的角是什么关系？

思考4：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？

思考5：在直角坐标系中，135°角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135°吗？

知识探究（三）：终边相同的角

思考1：－32°，328°，－392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？

思考2：与－32°角终边相同的角有多少个？这些角与－32°角在数量上相差多少？

思考3：所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？

3.终边相同的角

一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以表示为：

S={β|β=α＋k•360°，k∈Z} 即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 4.终边在坐标轴上角的表示

思考1：终边在x轴非正半轴、非负半轴上的角分别如何表示？

x轴非负半轴: ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

x轴非正半轴: ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

思考2：终边在y轴非正半轴、非负半轴上的角分别如何表示？

y轴非负半轴:

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

y轴非正半轴:

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

5.终边在各个象限角的表示

思考：终边在第一象限的角的集合如何表示？

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

思考：终边在其它象限的角的集合如何表示？

第二象限：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

第三象限：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

第四象限：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

小结作业

1. 角的概念推广

2. 终边相同的角

3. 终边在x轴、y轴上的角的表示

4. 终边在各个象限上的角的表示

作业：

1.在0°～360°范围内，找出与－950°角终边相同的角，并判定它是第几象限角. 2. （1）终边在x轴上的角的集合表示______________________________________. （2）终边在y轴上的角的集合表示______________________________________. （3）终边在坐标轴轴上的角的集合表示_________________________________. 3.如果α是第二象限的角，那么2α、α/2分别是第几象限的角？

4写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素写出来.