2.1.2 向量的几何表示公开课教案（教学设计）

2.2.3

向量数乘运算及其几何意义

1．向量的数乘运算

(1)向量的数乘运算的概念：

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

当λ>0时，与a方向相同；②λa(a≠0)的方向

当λ<0时，与a方向相反.特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0．

(2)向量数乘的运算律：

①λ(μa)＝(λμ)a；

②(λ＋μ)a＝λa＋μa；

③λ(a＋b)＝λa＋λb．

(3)向量的线性运算：

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．

2．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.

1．若λa＝0，则λ＝0对吗？

提示：不对．当λa＝0时，λ＝0或a＝0. 2．共线向量定理中b＝λa，a若为0如何？

提示：当a＝0时，则λ不存在(b≠0时)或者不唯一(b＝0时)．

考点一

11[(2a＋8b)－(4a－2b)]的结果是(

) 32A．2a－b

B．2b－a

C．b－a

D．a－b

11[自主解答]

[(2a＋8b)－(4a－2b)] 3211＝(2a＋8b)－(4a－2b) 631442＝a＋b－a＋b

3333＝2b－a. [答案]

B

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向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行去括

向量的线性运算

号、移项、合并同类项等变形手段．

1．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(

) A．－a

B．－b

C．－c

D．以上都不对

解析：3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b) ＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b

＝a－2(b＋c)．

又a＝b＋c，故原式＝－a. 答案：A

考点二

向量线性运算的应用

如图所示，四边形OADB是以向量1CN＝CD，试用a，b表示3[自主解答]

1＝(a－b)，

6∴∵∴2＝(31115＝b＋a－b＝a＋b. 6666，

2)＝(a＋b)，

321511＝(a＋b)－a－b＝a－b. 36626. 1为邻边的平行四边形．又BM＝BC，3

在本例条件中，试用a，b表示.

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1．充分利用平面几何的一些结论，将有关向量转化为相等向量、相反向量、共线向量，建立已知向量与未知向量的关系解决问题．

2．此类问题直接转化困难时，可建立相关向量的方程(组)求解．

2．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，则

(

) ＝2，A．反向平行

B．同向平行

C．互相垂直

D．既不平行也不垂直

考点二

设两非零向量a和b不共线，如果求证：A、B、D三点共线．

[自主解答]

∵向量共线的应用

＝a＋b，CD＝3(a－b)，BC＝2a＋8b.＝(2a＋8b)＋3(a－b)＝5a＋5b，AB―→＝a＋b，

又、有公共点B，∴A、B、D三点共线．

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利用向量证明三点共线时，一般是把“共线”问题转化为“向量关系a＝λb”，通过向量关系证出“三点共线”的结论．

3．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2.若a与b是共线向量，求实数k的值．

解：∵a与b是共线向量，∴a＝λb，

∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，

λk＝2，∴

λ＝－1，

k＝－2，∴

λ＝－1，∴k＝－2.

【解题高手】【多解题】

如图所示，已知▱ABCD的边BC、CD的中点分别为K、L，且用e1，e2表示[解]

法一：设

＝x，则1＝x，

2＝e1，＝e2，试AB＝e1－1x，2又11＝e1－x，

24＝x，由得

1142x＋e1－x＝e2，解方程，得x＝e2－e1，

243342即＝e2－e1，

33142由，AB＝e1－x，得＝－e1＋e2. 23311法二：设＝x，CD＝y，则＝x，＝－y. 22由得

1－y＋x＝e1，

①2

1x－y＝e2.

②21－2×②＋①得x－2x＝e1－2e2，解得

22242x＝(2e2－e1)，即＝(2e2－e1)＝e2－e1，

33332同法得y＝(－2e1＋e2)，

342即CD＝－e1＋e2. 33

法三：如图所示，BC与AL的延长线相交于点E. 则△DLA≌△CLE，从而，

得32＝2e2－e1，即242＝(2e2－e1)＝e2－e1. 333

＝32，由

242同理可得CD＝(－2e1＋e2)＝－e1＋e2. 333[点评]

①由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则、以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何知识的应用，如法三．②当直接表示较困难时，应考虑利用方程(组)求解，如本题法一，法二．

1．对于向量a，b有下列表示：

①a＝2e，b＝－2e；

②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；

21③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；

510④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2. 其中，向量a，b一定共线的有(

) A．①②③

B．②③④

C．①③④

D．①②③④

1解析：对于①，a＝－b；对于②，a＝－b；对于③，a＝4b；对于④，若a＝λb(λ≠0)，2则e1＋e2＝λ(2e1－2e2)，即(1－2λ)e1＋(1＋2λ)e2＝0，所以1－2λ＝1＋2λ＝0，矛盾，故④中a与b不共线．

答案：A 2．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为(

) A．3

B．－3

C．0

D．2 3x－4y＝6，x＝6，解析：由原式可得解得

2x－3y＝3，y＝3.所以x－y＝3. 答案：A 3．已知四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，若1111A．b＋a

B．b－a

C．a＋b

D．a－b

2222解析：1＝b－a. 2＝a，AD＝b，则＝(

)

答案：B 4．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝________．

解析：3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2) ＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2. 答案：8e2

125．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若23

(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

解析：本题考查向量的基本定理、向量的运算，意在考查学生的转化与化归能力．

＝121以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝. 6321答案：

2，所

6．如图，设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，用a，b，c表示向量. ，试解：如右图，连接AM并延长交BC于点D.

∵M是△ABC的重心，

2∴D是BC的中点，且AM＝AD. 3

21＝(b－a)＋(c－b) 33211＝－a＋b＋c. 333∴1＝(a＋b＋c)．

3

211－a＋b＋c

＝a＋333一、选择题

m1．已知两不共线的向量a，b，若对非零实数m，n有ma＋nb与a－2b共线，则＝(

) n11A．－2

B．2

C．－

D.

22解析：∵ma＋nb＝λ(a－2b)，

m＝λ，m1∴∴＝－. 2n＝－2λ，n答案：C 2．如图，向量的终点在同一直线上，且，设＝p，，则下列等式中成立的是(

)

1331A．r＝－p＋q

B．r＝－p＋2q

C．r＝p－q

D．r＝－q＋2p

222213＝－p＋q. 22答案：A 3．在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F.若＝b，则＝(

) 11211112A.a＋b

B.a＋b

C.a＋b

D.a＋b

42332433解析：如图．

∵△DEF∽△BEA. DFDE1∴＝＝. ABEB311∴DF＝AB＝DC. 332∴CF＝DC. 32＝a＋321121－a＋b＝a＋b. ＝a＋32233答案：B ∴2＝a＋(3)

4．已知平面内有一点P及一个△ABC，若A．点P在△ABC外部

B．点P在线段AB上

C．点P在线段BC上

D．点P在线段AC上

解析：由即答案：D 二、填空题

，∴2. ＝，则(

) ，

5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若λ等于________．

，，则2所以λ＝. 32答案：

3

6．在▱ABCD中，E，F分别在DC和AB上，且DE＝的关系是________．

解析：设. 112∵DE＝DC，AF＝AB，

13131∴＝a＋b，

131＝－a－b＝－13答案：

112DC，AF＝AB，则1313. 7．在▱ABCD中，________．(用a，b表示) 解析：由111＋b)－(a＋b)＝－a＋b. 24411答案：－a＋b

448．如图，在三角形ABC中用a、b表示向量＝________．

＝a，，M为BC的中点，则＝3(a＋b)，1＝a＋b，所以2＝3＝(a4＝b，AD为BC边的中线，G为△ABC的重心，解析：∵D是BC的中点，G是重心，

21＝a＋b. 3321答案：a＋b

33三、解答题

9．已知a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，则实数t为何值时，a，tb，1(a＋b)三向量的终点共线？

31解：由已知，存在唯一实数λ，使a－tb＝λ[a－(a＋b)]，

32λ化简得(λ－1)a＝(－t)b. 3323λ－1＝0，λ＝，32由于a，b不共线，故解得

λ1－t＝0，t＝，321即t＝时，三向量的终点共线．

210．设O是△ABC内部一点，且比．

，求△AOB与△AOC的面积之

解：如图，由平行四边形法则，知所以

＋. ，其中E为AC的中点．

所以设点A到BD的距离为h，

1则S△AOB＝||·h，S△AOC＝2S△AOE＝|2. |·h，

S△AOB所以＝S△AOC

121＝×＝. 233