探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期公开课教案

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质

考试目标

1．考查正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换．

2．考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用．

考点梳理

1．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图

“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个交点，作图时的一般步骤为：

π3π(1)定点：先确定五点．即令ωx＋φ分别等于0，2，π，2，2π，得对应的五π3π－φ－φπ－φ22π－φφ2点为－ω，ω，ω，ω，ω. (2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．

(3)扩展：1、将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象．2、定区间的“五点法”作图。

2．三角函数图象的变换

3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义

当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振2π1幅，T＝ω叫做周期，f＝T叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．

注意点：

T1、（1）列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为4，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．（2）定区间的“五点法”作图要注意范

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围内的特殊角的取值和端点值

2、图象变换有两条路径，在解题中，一般采用先平移后伸缩的方法．

3、(1)要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；(2)要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；(3)由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数φ应为ω，而不是|φ|. 考点自测

1．函数y＝(sin x＋cos x)2＋1的最小正周期是(

)．

π3πA.2

B．π

C.2

D．2π

2.

π已知简谐运动f(x)＝Asin(ωx＋φ)|φ|＜2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(

)．

ππA．T＝6π，φ＝6

B．T＝6π，φ＝3

ππC．T＝6，φ＝6

D．T＝6，φ＝3

3．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象(

)．

A．向左平移1个单位

B．向右平移1个单位

11C．向左平移2个单位

D．向右平移2个单位

π4．将函数y＝sin6x＋4的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平π移8个单位，得到的函数的一个对称中心是(

)．

ππππA.2，0

B.4，0

C.9，0

D.16，0

π5．将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移4个单位长度，所得图象经

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3π过点4，0，则ω的最小值是________．

典例剖析

一、作图

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) 的图象及其变换

π【例1】已知函数y＝2sin2x＋3，

(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；如果做出它在[0,

π]的图象呢？

π(3)说明y＝2sin2x＋3的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．

[审题视点] (1)由振幅、周期、初相的定义即可解决．

(2)五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点．定区间找特殊角，要确定整体角的范围，在其范围内的特殊角列出来，再列上端点角，实际是六点作图。

(3)只要看清由谁变换得到谁即可．

π2ππ解

(1)y＝2sin2x＋3的振幅A＝2，周期T＝2＝π，初相φ＝3. ππ(2)令X＝2x＋3，则y＝2sin2x＋3＝2sin X. 列表，并描点画出图象：

x X y＝sin X πy＝2sin2x＋3

π－6

0

0

0

π12

π2

1

2

π3

π

0

0

7π12

3π2

－1

－2

5π6

2π

0 0

ππ(3)法一

把y＝sin x的图象上所有的点向左平移3个单位，得到y＝sinx＋3的

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1π图象，再把y＝sinx＋3的图象上的点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不ππ2x＋2x＋变)，得到y＝sin的图象上所有点的纵坐3的图象，最后把y＝sin3π标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin2x＋3的图象．

1法二

将y＝sin x的图象上所有点的横坐标x缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，π得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移6个单位，得到y＝sin πππ2x＋6＝sin2x＋3的图象；再将y＝sin2x＋3的图象上所有点的纵坐标伸长π到原来的2倍(横坐标不变)；得到y＝2sin2x＋3的图象．

方法总结：(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利φ用ωx＋φ＝ωx＋ω来确定平移单位．

1π【训练1】

已知函数f(x)＝3sin2x－4，x∈R. (1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；

(2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？

解

(1)列表取值：

x 1π2x－4

f(x)

π2

0

0

32π

π2

3

52π

π

0

72π

32π

－3

92π

2π

0 描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．

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π(2)先把y＝sin x的图象向右平移4个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．

二、识图

由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

【例2】(1)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是(

)．

4ππA．A＝3，T＝3，φ＝－6

4π3πB．A＝1，T＝3，φ＝4

4π3πC．A＝1，T＝3，φ＝－4

4ππD．A＝1，T＝3，φ＝－6

(2)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的一部分，它的解析式为(

)．

π2A．y＝3sin2x＋3

2xπB．y＝3sin2＋4

2πC．y＝3sinx－3

2π2D．y＝3sin2x＋3

4π[审题视点] (1)函数的最大值为3，最小值为1，周期T＝3，从而A，ω可求，

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5π再代入6，3，可求φ值；

π2(2)观察半个周期求ω，将点－12，3代入求φ. 解析

(1)由图象可知，函数的最大值M＝3，最小值m＝1，则A＝T5ππ2π＝1，2＝6－6＝3，

4π2π3∴T＝3，∴ω＝T＝2. 35πx＋φ＋2，把点6，3代入得：

∴y＝sin2

3π5πsin4＋φ＋2＝3，解得φ＝－4. Tπ7ππ2π(2)由2＝－12－－12＝2，得T＝π，∴ω＝T＝2. 2π2把点－12，3代入y＝3sin(2x＋φ)，

2ππ－＋φ得：sin6＝1，解得φ＝. 3答案

(1)C

(2)D 方法总结：五点法求y＝Asin(ωx＋φ)中的φ的方法：

“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；并且它到原点的距离π小于半个周期；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx3π＋φ＝2；“第五点”时ωx＋φ＝2π.

【训练2】

M－m3－12＝2

如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象，此函数的解析式可为

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(

)．

π2x＋A．y＝2sin

32πB．y＝2sin2x＋3

xπC．y＝2sin2－3

πD．y＝2sin2x－3

T5πππ2π解析

由2＝12＋12＝2，得T＝π，∴ω＝T＝2. 2πππ把点－12，2代入y＝2sin(2x＋φ)，得：sin－6＋φ＝1，解得：φ＝3，故选B. 答案

B 三、用图

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用

π【例3】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜2的图π象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2，且图象上的一个最低点为2πM3，－2. (1)求f(x)的解析式；

ππ(2)当x∈12，2时，求f(x)的值域．

[审题视点] 图象上最低点→A；图象上与x轴的相邻两个交点→T→ω；点πM→φ.x范围→2x＋6范围→f(x)的值域．

2π解

(1)由最低点为M3，－2，得A＝2. πTπ2π2π由x轴上相邻的两个交点之间的距离为2，得2＝2，即T＝π，所以ω＝T＝π2π2π4π＝2.由点M3，－2在图象上，得2sin2×3＋φ＝－2，即sin3＋φ＝－1.

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4ππ11π故3＋φ＝2kπ－2，k∈Z，所以φ＝2kπ－6(k∈Z)．

ππ又φ∈0，2，所以φ＝6. π故f(x)的解析式为f(x)＝2sin2x＋6. ππ7πππ(2)因为x∈12，2，所以2x＋6∈3，6. πππ当2x＋6＝2，即x＝6时，f(x)取得最大值2；

π7ππ当2x＋6＝6，即x＝2时，f(x)取得最小值－1. 故函数f(x)的值域为[－1,2]．

方法总结：

利用三角函数图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数1的2个最小正周期，去求解参数ω的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A的值等．在求函数值域时，由定义域转化成ωx＋φ的范围，即把ωx＋φ看作一个整体．

【训练3】

如图为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分．

(1)求其解析式；

π(2)若将y＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移6个单位后得y＝f(x)，求f(x)的对称轴方程．

解

(1)由图象知A＝3，

π5π以M3，0为“第一点”，N6，0为“第三点”．

πω·3＋φ＝0，列方程组5πω·6＋φ＝π，

ω＝2，解之得2π

φ＝－3.

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2π∴所求解析式为y＝3sin2x－3. ππ2πx＋6－＝3sin2x－3，

(2)f(x)＝3sin23ππ5kπ令2x－3＝2＋kπ(k∈Z)，则x＝12π＋2(k∈Z)，

5kπ∴f(x)的对称轴方程为x＝12π＋2(k∈Z) 归纳小结：

通过近三年的高考试题分析，该部分主要考查：（1）“五点”法作图和变换作图（2）根据部分函数图象求函数的解析式；由图象确定解析式中参数的值．（3）研究三角函数的图象和性质，题型主要有选择题、填空题和解答题，属于中档题，其中解答题中往往作为其中一问．

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