2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学实录与评析

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必修④

第二章

平面向量

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

教学目的：

知识目标：

掌握平面向量的正交分解及坐标表示

通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量. 能力目标： 让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法. 情感目标： 通过本节课的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求. 教学重点：平面向量的正交分解及坐标表示

教学难点：平面向量的正交分解及坐标表示

教学过程：

导入新课

一、复习提问：

1．复习向量相等的概念

相等向量OA=BC，方向相同，大小相等. 2．平面向量的基本定理（基底）a=λ1e1+λ2e2,其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合. 二、新课：

1．正交分解的物理背景及其概念

图2.3－6（P105），光滑斜面上一个木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的F1力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F2，G＝F1＋F2，叫做把重力G分解. 由平面向量的基本定理，对平面上任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量a=λ1e1+λ2e2. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

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2．平面向量的坐标表示

取x轴、y轴上两个单位向量i,

j作基底，则平面内作一向量a=xi+yj，

记作：a=(x, y)

称作向量a的坐标，这就叫做向量的坐标表示. i＝（1,0），j＝（0,1），0＝（0,0）

例2

如图，分别用基底i,

j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标.

解：由图可知：aAA1AA2＝2i＋3j,所以，a＝（2,3）, 同理，有：

b＝－2i＋3j＝（－2,3）,

c＝－2i－3j＝（－2,－3）,

d＝2i－3j＝（2,－3）. 3．平面向量的坐标运算

（1）已知a(x1, y1)，b(x2, y2)，求a+ b，a b的坐标；

（2）已知a (x, y)和实数λ,求λa的坐标. 解：a+ b =(x1 i +y1 j)+( x2 i +y2 j)=(x1+ x2) i + (y1+y2) j

即：a+ b =(x1+ x2, y1+y2),同理：a b =(x1

x2,

y1y2). 应用示例

例1 如图4,ABCD,AB=a,AD=b,H、M是AD、DC之中点,F使BF=1BC,以a,b为基底分解向量3AM和HF.

活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励. 解:由H、M、F所在位置,有

11111DCADABbaAB=b+a. AMADDMAD22222

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11HFAFAHABBFAHBCAD32

11ABADAD32=a1b. 6点评:以a、b为基底分解向量AM与HF,实为用a与b表示向量AM与HF. 变式训练

已知向量e1、e2,求作向量-2.5e1+3e2作法:(1)如图,

任取一点O,作OA=-2.5e1,OB=3e2. (2)作OACB.故OCOC就是求作的向量. 变式训练

i,j是两个不共线的向量,已知AB=3i+2j,CB=i+λj,CD=-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数λ的值. 解:∵BD=CD-CB=(-2i+j)-(i+λj)=-3i+(1-λ)j, 又∵A、B、D三点共线,∴向量AB与BD共线.因此存在实数υ,使得AB=υBD, 即3i+2j=υ[-3i+(1-λ)j]=-3υi+υ(1-λ)j. ∵i与j是两个不共线的向量,故3v3,

v(1)2,∴v1,∴当A、B、D三点共线时,λ=3.

3.例2 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是(

) A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③

活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线

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的向量都可以作为基底. 解:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确. 答案:B 点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解. 例1 如图,M是△ABC内一点,且满足条件AM2BM3CM0,延长CM交AB于N,令CM=a,试用a表示CN.

活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论: 推论1:e1与e2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0. 推论2:e1与e2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a1,a2,b1,b2,使得a=a1e1+a2e2=b1e1+b2e2,则a1b1,

a2b2.解:∵AMANNM,BMBNNM,

∴由AM2BM3CM=0,得(ANNM)2(BNNM)3CM0. ∴AN3NM2BN3CM=0. 又∵A、N、B三点共线,C、M、N三点共线, 由平行向量基本定理,设ANBN,CMNM,

∴BN3NM2BN3NM0. ∴(λ+2)BN+(3+3μ)NM=0. 由于BN和NM不共线,

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∴220,∴

1330,∴CMNMMN.∴CNCMMN2CM=2a. 点评:这里选取BN,NM作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e1+λ2e2=0的形式来解决. 变式训练

设e1与e2是两个不共线向量,a=3e1+4e2,b=-2e1+5e2,若实数λ、μ满足λa+μb=5e1-e2,求λ、μ的值. 解:由题设λa+μb=(3λe1+4λe2)+(-2μe1+5μe2)=(3λ-2μ)e1+(4λ+5μ)e2. 又λa+μb=5e1-e2.由平面向量基本定理,知325,解之,得λ=1,μ=-1. 451.AGBG及的值. GDGE例2 如图,△ABC中,AD为△ABC边上的中线且AE=2EC,求

活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值. 解:设AGBG,

GDGE∵BD=DC,即AD-AB=AC-AD, ∴AD=1(AB+AC). 2又∵AG=λGD=λ(AD-AG), ∴AG=AD=AB+AC.

①

12(1)2(1)又∵BG=μGE,即AG-AB=μ(AE-AG), 1ABAE

∴(1+μ)AG=AB+μAE,AG=1112AB+2AC.

②

又AE=AC,∴AG=133(1)比较①②,∵AB、AC不共线,

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14,2(1)1,AGBG34,

∴解之,得3∴GDGE2.2.22(1)3(1)

点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果. 变式训练

过△OAB的重心G的直线与边OA、OB分别交于P、Q,设OP=hOA,OQkOB,试证:113

hk11(OAOB)=(a+b)(图略). 2211113k2∴OG=OD=(a+b),QGOGOQ=(a+b)-kb=a+b, 33333解:设OA=a,OB=b,OG交AB于D,则OD=QPOPOQ=ha-kb. ∵P、G、Q三点共线,∴QGQP. 1h,113k3∴a+b=λha-λkb.∴

13k33k.3两式相除,得∴1hkh3hk., 13kk11=3. hk知能训练

1.已知G为△ABC的重心,设AB=a,AC=b,试用a、b表示向量AG. 2.已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与AB相等,其中A(1,2),B(3,2),求x. 解答:

1.如图,

AG=12111AD,而ADABBDABBCa+(b-a)=a+b, 23222

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∴AG22AD(1a+1b)=1a+1b. 332233点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义. 2.∵A(1,2),B(3,2),∴AB=(2,0). x32,x1,∵a=AB,∴(x+3,x2-3x-4)=(2,0).∴x23x40解得x1或x4.

∴x=-1. 点评:先将向量AB用坐标表示出来,然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决. 五、小结：

取x轴、y轴上两个单位向量i,

j作基底，则平面内作一向量a=xi+yj，

记作：a=(x, y)

称作向量a的坐标，这就叫做向量的坐标表示. 课后作业

板书设计：

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