2.1.3 相等向量与共线向量PPT及课堂实录内容

A组

专项基础训练

(时间：40分钟) →→→→1．(2016·安徽皖江名校联考)在△ABC中，已知向量AB＝(2，2)，|AC|＝2，AB·AC＝－4，则△ABC的面积为(

) A．4

B．5 C．2

D．3 →→【解析】

∵AB＝(2，2)，∴|AB|＝22＋22＝22.

→→→→∵AB·AC＝|AB|·|AC|cos A＝22×2cos A＝－4，

∴cos A＝－22，∵0＜A＜π，∴sin A＝，

221→→∴S△ABC＝|AB|·|AC|sin A＝2.

2【答案】

C →2．(2017·安徽江淮十校第一次联考)在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，BC→→→→→＝2BD，AC＝3AE，则AD·BE的值为(

) 41A．－

B．－

3314C.

D.

331→1→→1→→→→1→→→1→BA＋AC＝－AB2＋AB·AC＋AC·BA＋【解析】

由已知得AD·BE＝(AB＋AC)·322621→2AC.①

61因为△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，所以①式＝－×22＋0214＋0＋×22＝－.故选A.

63【答案】

A 3．已知向量a＝(2cos α，2sin α)，b＝(3cos β，3sin β)，若a与b的夹角为60°，11则直线xcos α－ysin α＋＝0与圆(x－cos β)2＋(y＋sin β)2＝的位置关系是(

) 22A．相交

B．相交且过圆心

C．相切

D．相离

【解析】

∵a＝(2cos α，2sin α)，b＝(3cos β，3sin β)，

∴|a|＝2，|b|＝3.

∴a·b＝6cos αcos β＋6sin αsin β＝6cos(α－β)．

而a·b＝|a||b|cos 60°＝3，

1∴6cos(α－β)＝3⇒cos(α－β)＝.

2则圆心(cos β，－sin β)到直线xcos α－ysin α＋1＝0的距离d＝2cos αcos β＋sin αsin β＋1＝cos（α－β）＋1＝1＞2＝r，∴相离．

222【答案】

D →→→→4．(2016·驻马店质检)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－→2OA)＝0，则△ABC的形状为(

) A．正三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等腰直角三角形

→→→→→【解析】

因为(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，

→→→→→→即CB·(AB＋AC)＝0，∵AB－AC＝CB，

→→→→→→∴(AB－AC)·(AB＋AC)＝0，即|AB|＝|AC|，

所以△ABC是等腰三角形，故选C.

【答案】

C →→→→5．(2015·辽阳一模)在△ABC中，如图，若|AB＋AC|＝|AB－AC|，AB＝2，AC＝1，E，→→F为BC边的三等分点，则AE·AF等于(

)

810A.

B.

992526C.

D.

99→→→→→→→→→→→→【解析】

若|AB＋AC|＝|AB－AC|，则AB2＋AC2＋2AB·AC＝AB2＋AC2－2AB·AC，即→→→→→→→→有AB·AC＝0.E，F为BC边的三等分点，则AE·AF＝(AC＋CE)·(AB＋BF)＝→1→→1→2→1→1→2→2→22→25→→2AC＋3CB·AB＋3BC＝3AC＋3AB·3AC＋3AB＝9AC＋9AB＋9AB·AC＝9×(1＋104)＋0＝.故选B.

9【答案】

B 6．(2016·合肥联考)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a＋b在a上的投影为

________．

1【解析】

∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2×＝7，∴|a＋b|＝7，cos〈a＋b，2（a＋b）·a1＋12727a〉＝＝＝.∴a＋b在a上的投影为|a＋b|·cos〈a＋b，a〉＝7×＝77|a＋b|·|a|72.

【答案】

2 →→7．(2015·潍坊模拟)如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，〈AB，AC〉→＝60°，则|OA|＝________．

13→→→→→→【解析】

因为〈AB，AC〉＝60°，所以AB·AC＝|AB|·|AC|cos 60°＝1×3×＝，221→→1→→→1→→→→→又AO＝(AB＋AC)，所以AO2＝(AB＋AC)2＝(AB2＋2AB·AC＋AC2)，

2441313→1→所以AO2＝(1＋3＋9)＝，所以|OA|＝.

442【答案】

13

2→→→→→→8．在△ABC中，若OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的________(填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心”)．

→→→→【解析】

∵OA·OB＝OB·OC，

→→→∴OB·(OA－OC)＝0，

→→∴OB·CA＝0，

∴OB⊥CA，即OB为△ABC底边CA上的高所在直线．

→→→→同理OA·BC＝0，OC·AB＝0，故O是△ABC的垂心．

【答案】

垂心

→→9．(2017·上海静安区一模)如图，已知O为坐标原点，向量OA＝(3cos x，3sin x)，OB＝π→(3cos x，sin x)，OC＝(3，0)，x∈0，. 2

→→→(1)求证：(OA－OB)⊥OC；

(2)若△ABC是等腰三角形，求x的值．

→→【解析】

(1)证明

∵OA－OB＝(0，2sin x)，

→→→∴(OA－OB)·OC＝0×3＋2sin x×0＝0，

→→→∴(OA－OB)⊥OC.

(2)若△ABC是等腰三角形，则AB＝BC，

∴(2sin x)2＝(3cos x－3)2＋sin2x，

整理得2cos2x－3cos x＝0，

解得cos x＝0，或cos x＝3.

2ππ3∵x∈0，，∴cos x＝，x＝. 26210．(2015·德州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A3－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－. 5(1)求sin A的值；

→→(2)若a＝42，b＝5，求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影．

3【解析】

(1)由m·n＝－，得

53cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，

53所以cos A＝－.

5因为0＜A＜π，

所以sin A＝1－cosA＝(2)由正弦定理，得234－＝.

1－552ab＝，

sin Asin B45×5bsin A2则sin B＝＝＝，

a422π因为a＞b，所以A＞B，则B＝.

43－，

由余弦定理得(42)2＝52＋c2－2×5c×5解得c＝1，

→→故向量BA在BC方向上的投影为

22→|BA|cos B＝ccos B＝1×＝. 22B组

专项能力提升

(时间：20分钟) 11．(2015·湖南)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2，→→→0)，则|PA＋PB＋PC|的最大值为(

) A．6

B．7 C．8

D．9 →→【解析】

由A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，所以AC为圆直径，故PA＋PC＝→→→→→2PO＝(－4，0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1，1]，PB＝(x－2，y)，所以PA＋PB＋PC→→→＝(x－6，y)．故|PA＋PB＋PC|＝－12x＋37，所以x＝－1时有最大值49＝7，故选B.

【答案】

B 12．(2016·山东)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．

【解析】

根据已知，a2＝2，a·b＝10.由a⊥(ta＋b)，得a·(ta＋b)＝ta2＋a·b＝2t＋10＝0，解得t＝－5.

【答案】

－5 13．已知向量a＝(1，3)，b＝(3，1)，则a与b夹角的大小为________．

a·b233【解析】

a·b＝23，∴cos〈a，b〉＝＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，|a||b|2×22πb〉＝.

6【答案】

π

614．(2016·江苏)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，→→→→→→BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是________．

→→→→→→【解析】

设BD＝a，DF＝b，则BA·CA＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，BF·CF＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，解得|a|2＝7－|a|2＝.

8135→→，|b|2＝.则BE·CE＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|288

7【答案】

8→→→→15．(2016·宣城模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB·AC＝BA·BC＝1. (1)判断△ABC的形状；

(2)求边长c的值；

→→(3)若|AB＋AC|＝22，求△ABC的面积．

→→→→【解析】

(1)由AB·AC＝BA·BC＝1，

得bc·cos A＝ac·cos B，由正弦定理，

即sin Bcos A＝sin Acos B，

∴sin(A－B)＝0，

∴A＝B，即△ABC是等腰三角形．

→→(2)由AB·AC＝1，得bc·cos A＝1，

b2＋c2－a2又bc·＝1，则b2＋c2－a2＝2，

2bc又a＝b，∴c2＝2，即c＝2.

→→(3)由|AB＋AC|＝22，得2＋b2＋2＝8，

∴b＝2，又c＝2，

∴cos A＝214，sin A＝，

4411147∴S△ABC＝bc·sin A＝×2×2×＝. 2242