2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优秀教案设计

§2.3.2平面向量正交分解及坐标表示

学习目标

1. 掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义；

2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P93—P96）

复习1：向量b、aa0是共线的两个向量，则a、b之间的关系可以表示为

. 复***面内任意两个向量e1、e2，请同学们作出向量3e12e2、e12e2.



二、新课导学

※

探索新知

探究：平面向量基本定理

问题1：复***面内的任一向量是否都可以用形如1e12e2的向量表示呢？

1.

平面向量的基本定理: 如果e1,e2是同一平面内两个 的向量，a是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数1,2,使 。其中，不共线的这两个向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的基底。

注意：

(1) 我们把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内

所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e1，e2的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？



2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量a,b，作OAa,OBb，则

叫做向量a与b的夹角。如果AOB,则的取值范围是

。

当

时，表示a与b同向；

当

时，表示a与b反向；

当

时，表示a与b垂直。记作：ab. 在不共线的两个向量中，90，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。

问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示. 对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？

3、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个_______作为基底。对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得____________，这样，平面内的任一向量a都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作___________此式叫做向量的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标。几个特殊向量的坐标表示

i___________,j_________,o______

※

典型例题

学法引领：首先画图分析，然后寻找表示。

例1、已知梯形ABCD中，AB//DC，且AB2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设ADa，ABb。试用a,b为基底表示DC、BC.

例2、已知O是坐标原点，点A在第一象限，OA43，xOA60，求向量OA的坐标.

三、小结反思

1、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；

2、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示

3、向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

学习评价

※

自我评价

你完成本节导学案的情况为（

）. A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※

当堂检测（时量：5分钟

满分：10分）计分：

1、已知点A的坐标为（2，3），点B的坐标为

（6，5），O为原点，则OA=________，OB=_______。

2、已知向量a的方向与x轴的正方向的夹角是30°，且|a|则a的坐标为__________。

4，

3、已知两向量e1、e2不共线，a2e1e2，b3e12e2，若a与b共线，则实数=

.

4. 设O是平行四边形ABCD两对角线AC与BD的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是（

）

①AD与AB②DA与BC③CA与DC④OD与OB

A.①②

B.③④

C.①③

D.①④

5、已知ＡＭ是△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若AB＝a，AC＝b，则AM＝（

）

11Ａ．（

a－

b） Ｂ．

－（

a－

b）

2211Ｃ．－（

a＋b） Ｄ．（

a＋b）

22

课后作业

1、在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若BC5e1，DC3e2，则OC等于多少？

2．

已知点A（2，2），

B（-2，2），

C（4，6）

，

D（-5，6），

E（-2，-2），

F（-5，-6）

在平面直角坐标系中，分别作出向量AC

BD

EF并求向量AC

BD

EF的坐标。