2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示第二课时教学实录

课题[来源:学科网ZXXK]2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

新授课课型

[来源:Zxxk.Com][来课时 [来源:Z&xx&k.Com]2.3.3平面向量的坐标运算[来源:Zxxk.Com]

源:学科网ZXXK]

2

2.3.4平面向量共线的坐标表示

目标分解一：平面向量的正交分解，向量的坐标表示．

目标分解二：两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．

学习目标

目标分解三：平面向量共线的坐标表示．

目标分解四：三点共线．

重难点

向量的坐标表示；向量的坐标运算法则；平面向量共线的坐标表示；三点共线．

合作探究

【课前自主复习区】

【目标分解一】平面向量的正交分解，向量的坐标表示．

预习教材P94-97完成下列问题：

1.平面中的任意一个向量都能用两个互相垂直的向量来表示。

_____________________________________________叫做把向量正交分解

2.问题：在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?能不能象点一样也用坐标来表示？

解答：如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得 ①，这样, 平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对 叫做向量a的坐标,记作 ②，其中x叫做 ,y叫做 ,②式叫做向量的坐标表示。显然, i= , j= ,0= . 在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是一一对应的。

【例1】

如图,分别用基底i、j表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.

课堂设计

学生随堂手记

【我会做】

已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和AB与AD的坐标．

【课堂互动探究区】

【目标分解二】两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．

aba1. 若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则= ，b= 即两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 2.若a(x,y)和实数，则a . 即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3. 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. 若向量以原点为始点，则终点的坐标与向量的坐标是相同的。

【例2】（1）已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.

（2）已知三点A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，则向量3AB＋2CA＝________，BC－2AB＝________.

【我会做】1.已知向量a=(－1,2)，b=(3，－5)，求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐标．

→【我能做对】2.已知AB＝(－2，－5)，B(3，－7)，则点A的坐标为____________．

【例3】已知平面上三点的坐标分别为A(2， 1)， B(1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。

★【我能做对】已知平面上三点的坐标分别为(2， 1)，(1， 3)，(3， 4)，求一点的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。

★★【我要挑战】若a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，且c＝pa＋qb，则p＝____，

q＝___.

【目标分解三】平面向量共线的坐标表示．

若ax1,y1,bx2,y2,则有a∥b (b≠0)a=b

【例4】已知a=(4,2),b6,y

,且a∥b,求y．

已知向量a1,1，b2,x，若ab与4b2a平行，则实数x的值是(

)

【我会做】1.已知向量a1,1，b3,m,a∥(ab)，则m＝(

) A．2

B．－2

C．－3

D．3 2.[2015·兰州模拟] 已知向量a＝(x2－1，2＋x)，b＝(x，1)，a∥b，则x＝________．

【目标分解四】三点共线．

【例5】已知A1,1,B1,3,C2,5,试判断A、B、C三点之间的位置关系.

【我会做】已知A1,2,B4,8,C5,x,且A、B、C共线，求x的值.

【例6】设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是x1,y1、x2,y2. (1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标; (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.

【课后分层巩固区】

1．已知AB＝(－2,4)，则下面说法正确的是(

) A．A点的坐标是(－2,4)

B．B点的坐标是(－2,4) C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4)

D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)

2．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝(

) A．(6,3)

B．(7,3)

C．(2,1)

D．(7,2)

3．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则AB＋2BC＝________.

4．已知a＝(3,4)，点A(1，－3)，若AB＝2a，则点B的坐标为________．

1→→→5．已知向量OA＝(1，－2)，OB＝(－3，2)，则AB＝________．

2

6．已知向量a＝(2，1)，b＝(x，－1)，且a－b与b共线，则x的值为(

)

A．1

B．2

C．－1

D．－2

★ 7.设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段依次首尾相连能构成四边形，则向量d＝(

)

A．(2，6)

B．(－2，6)

C．(2，－6)

D．(－2，－6)

→→→★ 8.已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(

)

1A．k＝－2

B．k＝

C．k＝1

D．k＝－1 2

★ 9.已知向量a2,3，b1,2，若ma4b与a2b共线，求m的值．

★★10．已知向量a

3,cos，b3,sin且a//b，则锐角=_______．