二次根式的混合运算名师教学实录

16.3.2二次根式的混合运算

一、内容和内容解析

1．内容

二次根式的加减乘除混合运算．

2．内容解析

二次根式的混合运算是本章所学内容的综合运用，运算过程中用到乘法分配律，还需用多项式的乘法法则和整式的乘法公式，教学中要注意让学生体会二次根式的运算与整式运算的联系，以及无理式（二次根式）的运算顺序与有理式运算顺序相同．基于以上分析，可以确定本课的教学重点：是运用乘法分配律、多项式乘法法则及乘法公式进行二次根式的加减乘除混合运算．

二、目标和目标解析

1．目标

（1）掌握二次根式混合运算的法则，合理使用运算律．

（2）灵活运用运算律、乘法公式等技巧，使计算简便．

2．目标解析

达成目标（1）的标志是：学生能在有理数混合运算及整式的混合运算基础上，类比得出二次根式混合运算的法则及算法．

目标（2）是通过类比整式乘法公式让学生能熟练进行二次根式混合运算．

三、教学问题诊断分析

学生的认知基础有：一是掌握有理数的运算顺序，二是掌握整式的运算律和乘法公式，三是掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则. 二次根式的混合运算，困难在于将二次根式的混合运算与整式混合运算联系在一起，运用整式的运算法则和乘法公式进行二次根式的运算．

本课的教学难点是：二次根式运算中，灵活运用多项式乘法法则及乘法公式．

四、教学过程设计

（一）复习导入

二次根式的乘法法则

二次根式的除法法则

aa bb

abab(a0,b0).(a0,b0).1

二次根式的加减法法则

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并。 多项式乘法公式

(ab)2a22abb2

(ab)(ab)a2b2二次根式运算结果十八字诀(最简二次根式) 分母里无根号；

根号下无分母；

能开方要开尽。

设计意图：复习二次根式运算法则和整式乘法公式，以便于学生用法则和乘法公式来进行二次根式的混合运算，以促进学生体会新旧知识之间的联系。

(二)类比法探究新知

问题1 计算下列各式的值

(1)

3a4a (2)

32

42

师生活动：学生口算此二题

设计意图：让学生类比合并同类项的方法，进行二次根式的加减法运算，可以将二次根式的计算理解为合并同类二次根式。

问题2 计算下列各式的值

(3)

5(35) (4)

2

(610)

师生活动：教师引导学生类比多项式乘以单项式（乘法分配律）方法，学习二次根式的混合运算. 设计意图：类比整式乘法分配律，进行二次根式的混合运算，便于学生掌握乘法分配律适用于二次根式的混合运算。

问题3 计算下列式的值

(5)

(4236)22

师生活动：教师引导学生类比多项式除以单项式并运用除法法则，学生思考并独独立完成，师生共同总结得出适合二次根式混合运算方法。

2

设计意图：类比乘法分配律学习二次根式混合运算，可以有效的帮助学生掌握二次根式除法等混合运算方法。

（三）小试牛刀（1）

(1)

3(35)5(35)

(2)

(35)2

师生活动：学生应用分配律独立完成（1），教师引导学生观察（1）与（2）之间的关系，运用完全平方公式完成（2）运算，比较两种计算方法的结果，体会哪种方法方便。

设计意图：利用分配律进行二次根式的混合运算，得出经结果；再类比比完全平方公式，得出结果。将两种方法的计算结果进行比较，让学生理解乘法公式也适用于二次根式的运算。

巩固练习：

(3)

(36)2 (4)

(155)2

师生活动：学生独立完成计算，教师检查完成情况并进行个别辅导。

设计意图：通过练习，促进学生熟练运用乘法公式进行二次根式运算。

（三）小试牛刀（2）

(1)

3(35)5(35)

(2)

(35)(35)

师生活动：学生先完成第一小题，然后教师引导学生观察（1）（2）式的联系，促进学生发现平方差公式，应用平方差公进行二次根式的运算。

设计意图：类比整式平方差公式的运算，掌握平方差公式同样适用于二次根式的运算。

巩固练习：

(3)

(62)(62) (4)

(157)(157) 设计意图：通过练习，促进学生熟练运用平方差公式进行二次根式运算。

（四）学以致用

3

(1)12526 (2)(2712)6

2(3)(ab)(a-b) (4)(xy)

(5)

(157)(62)

师生活动：学生自行完成以上五小题，教师进行必要的指导，对于第五小题是，不能利用乘法公式的就利用分配律(或类比多项式乘以多项式)进行运算。

(6)(51)22(63)(63)2(222)

师生活动：教师提示：思考第（6）小题先算什么？后算什么？有理数的运算顺序是什么呢？学生观察分析并进行小组讨论，通过生生互动、师师互动共同总结出先乘方，再乘除，最后算加减；若有括号，先算括号内。

设计意图：通过练习，促进学生掌握利用二次根式运算法则和乘法公式进行二次根式的混合运算，提高学生的运算能力。

（五）拓展延伸

(1)(65-2)(652)

（2）已知

x73, y73,求下列各式的值。

22 xy①

22 xxyy②

师生活动：教师要求学生先观察，然后找出合适的方法来解题，第一题鼓励学生先用平方差公式，再用完全平方公式；第二题选择其中一个小题即可，有余力的同学全做。教师观察找出不同学生的算法，与学生一起讨论总结出简便的运算方法。

设计意图：将乘法公式进行二次根式融合在一起，促进学生观察、发现乘法公式，并利用乘法公式进行简便运算，提高准确率。同时促进学生能比较熟练地掌握二次根式混合运算的步骤、方法、依据。

（六）小结

教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请同学们谈谈有哪些收获，或者还有哪些困惑。

师生活动：教师引导学生进行本节课的学习总结，重点总结出以下两方面。

4

1、二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，整式的运算律、运算顺序在二次根式运算中依然适用，应用整式乘法规律和二次根式运算法则进行二次根式的混合运算。 2、整式的乘法公式依然适用二次根式的运算，而且应用乘法公式进行二次根式计算时比较简便。

设计意图：通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，掌握二根式混合运算的方法，即利用二次根式的运算法则和整式运算规律以及乘法公式进行二次根式的混合运算。

（七）布置作业：

（1）基础作业（必做）：16.3练习第1、2题各选两小题。

（2）拓展作业（选做）：

已知x=2-3,y=2+3,x2xyy2的值。

五、目标检测设计

1(20-15)、 1

5 28182

设计意图：本两小题主要考察学生应用乘除法分配律进行二次根式混合运算的掌握情况。

1(62、

5)2 2(1113)(1113)

设计意图：本两小题主要考察学生应用乘法公式（完全平方公式和平方差公式）进行二次根式混合运算的掌握情况。

3、48

133530(223)2

设计意图：本小题主要考察学生对二次根式混合运算顺序的掌握情况。

5