测试公开课教案

专题研究随笔

勾股定理专题研究

我在《勾股定理》章末复习专题教学中，现有一些想法和体会整理出来，希望大家一起研究和探讨。

专题一：运用勾股定理进行计算与求值。

例

如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图乙所示的数学“风车”，则这个数学“风车”的外围周长是多少？

B A B A C C 甲

乙

分析：依题意，设数学“风车”中的四个直角三角形边长为x，

则x2=122+52=169 解得x=13 所以，“数学风车”的周长是(13+6)×4=76 答案:76 点评：勾股定理揭示了直角三角形中三边之间的数量关系，如果两边确定，则可以直接利用公式计算第三边若题目的条件不能确定两边，但能确定两边之间的关系，这时可以引入未知数，再通过列方程求解。在有的题目中，有时需要通过作垂线、高等辅助线，构造直角三

角形，再运用勾股定理求解。

专题二：运用勾股定理及轴对称性质解决最短路线问题。

例.如图所示，A、B两村到河边的距离CD的同侧，A、B两村到河边的距离分别为AC=1km,BD=3km.又CD=3km,先要在河边CD上建一水厂，同时分别向A、B两村输送自来水，铺设水管时工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，是铺设水管的总费用最省，并求出铺设水管的总费用。

C A′

A B O D E 分析：假设A关于直线CD的对称点为A′，利用轴对称性质，OA=O A'，由两点之间线段最短可知：当A'，O，B在同一条直线上时，OA+OB最小，使铺设水管的费用最省

解：作A关于CD的对称点A'，连接A′B交CD于0，则O点即为所求，如图所示，过A′作AE⊥BD交BD的延长线于E。

则A′E= CD=3 km, DE=A′C= AC=1 km, BE=BD+DE=3+1=4(km) 在Rt△AEB中,AB==∴OA+OB=A'B=5(km) =5(km) ∴总费用为5×20000=100000（元) 点评：(1)铺设费用与水管的长有关，所以本题的关键是使点O到点A、点B的距离之和最小；(2)将实际问题转化为几何问题，并利用几何图形表示实际问题中的已知条件，然后运用几何知识解决问题。

专题三：操作验证勾股定理。

例

操作题：裁剪出若干张大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图17-7①所示(1)拼图一：分别用4张直角三角形纸片拼成如图17-7②③的形状，观察图②③可发现，图②中两个小正方形的面积之和 (填“大于”“小于”或“等于”)图③中小正方形的面积，用关系式表示为 (2)拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图17-7④的形状，观察图形可以发现，图中共有个 正方形，它们的面积之间的关系

是 ，用关系式表示为 。

①

②

③

④

分析：首先认真观察图形的变化，然后用图形割补、拼接，由面积不变证明。(1)图②中两个小正方形的边长分别是a、b，所以它们的面积之和为a2+b2，图③中小正方形的边长为c所以它的面积为c2，由图①得a2+b2=c2。(2)图④中共有3个正方形，它们的面积之间的关

系是两个较小正方形的面积之和等于最大正方形的面积，用关系式表示为a2+b2=c2 解：(1)等于a2+b2=c2 (2) 3两个较小正方形的面积之和等于最大正方形的面积 a2+b2=c2 点评：勾股定理的证明方法是比较独特的，这里利用的是面积验证法给定一个图形，通过割补、拼接变换成另一个图形，只要没有重叠，

没有空隙，面积就不会改变。

专题四:利用勾股定理解决折叠问题。

例4如图17-8所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求△BED的面积.

A E 3 1 B 2 C C′

D

分析：由于S△BED=DE·AB，所以只要求出DE的长即可，而DE=BE，AE=AD-DE=8-BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解. 解∵AD∥BC, ∴∠2=∠3. ∵△BCD与△BCD关于直线BD对称，

∴∠1=∠2,∴,∠1=∠3,EB=ED. 设EB=x,则ED=x,AE=AD-ED=8-x 在Rt△ABE中,∵AB2+AE2=BE2 ∴42+(8-x)2=x2,∴x=5,,∴DE=5, ∴S△BED=DE·AB=×5×4=10. 点评：折叠问题与轴对称图形、全等是密不可分的,做题时一定要抓住这一点，长方形的折叠往往产生直角三角形，构建勾股定理即可. 专题五:数学活动。

例. (1)判断三边分别为2n2+2n,2n+1,2n2＋2n+1(n为正整数)的三角形是否是直角三角形?

(2)观察下列数表

n a b c 2 22-1 4 22+1 3 32-1 6 32+1 4 42-1 8 42+1 5 52-1 10 52+1 …

…

…

…

①请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n(n>1)的代数式表示：a= b= c= ；②猜想：以a、b、c为边长的三角形是否为直角三角形?请证明你的猜想

分析：(1)实质上是判断2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1是否构成勾股数，在探讨中得先求出最长者，以减少探求的次数.(2)先将b改写为与n相关的关系式就不难发现规律，再运用勾股定理的逆定理来验证。

解:(1)∵(2n2+2n++1)-(2n2+2n)=1>0,(2n2+2n+1)-(2n+1)=2n2>0, ∴2n2+2n+1为三角形中最长的边. 又∵(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1, (2n2+2n)2+(2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1, ∴(2n2+2n+1)2=(2n2+2n)2+(2n+1)2 所以，由勾股定理逆定理可知，此三角形为直角三角形。

(2)①n2-1，2n,n2+1. ②以a，b，c为边长的三角形是直角三角形，理由如下: a2+b2=(n2-1)2+(2n)=n4-2n2+1+4n2=(n2+1)=c2

∴以a，b，c为边长的三角形是以c为斜边的直角三角形. 点评：判断以三条线段长为边长的三角形是否为直角三角形，应先判断最长边，再计算另两条边的平方和是否等于最长边的平方。

教学反思：通过对上面例题教学，我认为在《勾股定理专题研究》专题教学中，给学生始终培养一下几个思想方法：

方程思想：方程思想就是从分析几何问题的数量关系出发，恰当设未知数，利用问题中的条件，把要解决的数学问题中的已知量和未知数之间的数量关系转化为方程或方程组，进而解决间题。在直角三角形中，求线段的长时，常利用勾股定理建立方程求解。

运用方程的思想和勾股定理解决几何问题、实际问题，非常自然。运用方程的观点去考查问题，运用方程的思想去分析问题，能有效地沟通知识间的纵横联系，发现各种数量之间的关系，有助于解题思路的寻求和优化勾股定理反映了直角三角形中三边的关系，所以在勾股定理的应用中，最常见也是最基本的一类问题就是在直角三角形中已知两边求第三边的问题，或是关于此类问题的变形题。方程思想在勾股定理关于此类问题的求解过程中得到了广泛的运用。

数形结合思想：勾股定理是已知三角形是直角三角形(形)，得到三角形三边的数量关系(数)；勾股定理的逆定理是由三角形三边的数量关系(数)，得到这个三角形是直角三角形(形)。二者相互结合，能使抽象的数量关系直观化，从而有效地分析问题和解决问题。

添加辅助线利用勾股定理或勾股定理的逆定理解题的关键是构造直角三角形，常用的添加辅助线的方法：①图中存在直府，连接两

点构造直角三角形；②有特殊计算时，常作高，把特殊角放到直角三角形中；③涉及平方问题时，常作高，构造直角三角形，利用勾股定理求解。

分类讨论思想：在研究三角形的高时，应分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情况考虑，另外在探究直角三角形的边长时也应注意分类。

在利用勾股定理时不可盲目，需明确哪条边是斜边，否则会遗漏情况，造成丢解错误。

研究策略及方法：

1、让学生经历勾股定理及其逆定理的探索过程。

勾股定理及其边定理都是初等数学中的重要定理，同时，这两个定理也都是多数初中学生在教师的精心引导下通过探索能够发现证明的定理。在教学中要重视这两个定理的教学，要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得两个定理的证明。

2、通过介绍我国古代研究勾股定理的成就培养民族自豪感。

我国古代数学有许多杰出的研究成果，许多成就为世界所瞩目，并获得高度评价，本章也介绍了国外对于勾股定理的有关研究成果。使学生对勾股定理的有关历史发展有所了解，激发学生的学习兴趣。特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发学生热爱祖国的思想感情，培养民族自豪感，教育学生打好数学知识基础，为中华民族的伟大复兴而努力学习。

3、重视提高学生分析问题、解决问题的能力。

4、围绕证明勾股定理培养学生数学学习的自信心。

5、适当总结和定理、逆定理有关的内容。