方差的应用特级教师教学实录

20.2

方差。的应用

1．理解方差概念的产生和形成过程．

2．会用方差比较两组数据的波动大小．

重点

方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题．

难点

理解方差的概念并会运用方差的公式解决实际问题．

一、情境导入

1．请同学们看下面的问题：(幻灯片出示) 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量(单位：t)如下表所示. 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41

甲

7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 乙

根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？

上面两组数据的平均数分别是

x甲≈7.54，x乙≈7.52，

说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大．由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大．

为了直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的分布情况，我们把这两组数据画成下面的图1和图2.

师：比较上面的两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，乙种甜玉米在各试验田的产量较集中地分布在平均量附近，从图中看出的结果能否用一个量来刻画呢？这就是我们本节课所要学习的内容——方差．

教师说明：从上面看到，对于一组数据，除需要了解它们的平均水平外，还常常需要了解它们的波动大小(即偏离平均数的大小)．

2．方差的概念

教师讲解：为了描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法，例如，可以先求得各个数据与这组数据的平均数的差的绝对值，再取其平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小，通常，采用的是下面的做法：

设在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的和的平均数是s2，那么我们用

1s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2] n来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大；数据的方差越小，说明这组数据的波动越小，教师要剖析公式中每一个元素的意义，以便学生理解和掌握．

在学生理解了方差的概念之后，再回到了引例中，通过计算甲、乙两种甜玉米的方差，根据理论说明哪种甜玉米的产量更好．

教师示范：

两组数据的方差分别是

（7.65－7.54）2＋（7.50－7.54）2＋…＋（7.41－7.54）2s甲＝≈0.01，

10（7.55－7.52）2＋（7.56－7.52）2＋…＋（7.49－7.52）22s乙＝≈0.002. 10显然s甲2＞s乙2，即甲种甜玉米的波动较大，这与我们从图1和图2看到的结果一致．

由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定．正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差．因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比甲种的稳定．综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米．

这样做使学生深刻地体会到数学来源于实践，又反过来作用于实践，不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识．

二、例题讲解

【例1】教材第125页例1 【例2】教材第127页例2 【例3】(幻灯片出示)已知两组数据：

甲：9.9

10.3

9.8

10.1

10.4

10

9.8

9.7 乙：10.2

10

9.5

10.3

10.5

9.6

9.8

10.1 分别计算这两组数据的方差．

让学生自己动手计算，求平均数时激发学生用简化公式计算，找一名学生到黑板计算．

解：根据公式可得

1x甲＝10＋(－0.1＋0.3－0.2＋0.1＋0.4＋0－0.2－0.3) 81

＝10＋×0＝10 81x乙＝10＋(0.2＋0－0.5＋0.3＋0.5－0.4－0.2＋0.1) 81

＝10＋×0＝10 81s甲2＝[(9.9－10)2＋(10.3－10)2＋…＋(9.7－10)2] 81

＝(0.01＋0.09＋…＋0.09) 81

＝×0.44＝0.055 81s乙2＝[(10.2－10)2＋(10－10)2＋…＋(10.1－10)2] 81

＝(0.04＋0＋…＋0.01) 81

＝×0.84＝0.105 8从s甲2＜s乙2知道，乙组数据比甲组数据波动大．

三、巩固练习

1．已知一组数据为2，0，－1，3，－4，则这组数据的方差为________．

【答案】6 2．甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：

甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4 乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7 经过计算，两人射击环数的平均数相同，但s甲2________s乙2，所以确定________去参加比赛．

【答案】＞

乙

四、课堂小结

1．知识小结：通过这节课的学习，我们知道了对于一组数据，有时只知道它的平均数还2

不够，还需要知道它的波动大小，而描述一组数据的波动大小的量不止一种，最常用的是方差．

2．方法小结：求一组数据方差的方法：先求平均数，再利用平均数求方差．

本次教学在解决引例问题时，通过对数据的分析，发现以前学过的统计知识不能解决新问题，引出矛盾，这里设计了小组讨论的环节，让学生在交流中得到启发，进而使学生的思维发生碰撞，产生创新的火花，真正体现“不同的人，在数学上得到不同的发展”．