测试教学实录

第十七章《勾股定理》检测题

一、选择题（每小题只有一个正确答案）

1．下列各组中，不能构成直角三角形的是（ ）

A. 9、12、15 B. 3、4、5 C. 10、24、26 D. 7、8、10 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则AB的长为(

) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树稍飞到另一棵树的树稍，问小鸟至少要飞行（ ）

A. 6米 B. 8米 C. 10米 D. 14米

4．如图，直线l上有三个正方形A，B，C，若正方形A，C的面积分别为8和15，则正方形B的面积为( )

A. 6 B. 7 C. 23 D. 120 5．直角三角形两直角边分别为5，12，则这个直角三角形斜边上的高为（ ）

A. 6 B. 8.5 C. D.

6．若三角形三边长为a、b、c，且满足等式

，则此三角形是（ ）

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形

7．如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（

）

A. 52 B. 42 C. 76 D. 72 8．已知△ABC，AB=5，BC=12，AC=13，点P是AC上一个动点，则线段BP长的最小值是（

）

A. 6030 B. 5 C. D. 12 13139．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（

）

A. 5+1 B. 5-1 C. -5+1 D. -5-1 10．如图，一个长方体盒子，BC=CD=8，AB=4，则沿盒子表面从A点到D点的最短路程是（

）

A. 417 B. 4+417 C. 413 +8 D. 413

二、填空题

11．若直角三角形两直角边之比为3∶4，斜边长为20，则它的面积为____．

12．在平面直角坐标系中，坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点有_____个．

13．如图17－Z－7所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离为________．

图17－Z－7 14．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距______km．

15．某楼梯的侧面图如图17－Z－6所示，其中AB＝4米，∠BAC＝30°，∠C＝90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为________米．

图17－Z－6

三、解答题

16．如图，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米。

（1）这个梯子的顶端离地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

17．卡菲尔德（Garfeild，1881年任美国第二十届总统）利用下图证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现在请你尝试他的证明过程证明勾股定理.（四边形ABDE为直角梯形，∠B和∠D为直角）

18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90

，AC=4，BC=3.在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成附图形是一个等腰三角形，如图所示. 要求：在两个备用图中分别画出两种与示倒不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长。

19．如图，在等腰直角△ABC的斜边上取异于B，C的两点E，F，使∠EAF=45°，求证：以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．

20．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°D为AB边上一点. 求证：（1）△ACE

△BCD；

（2）

参考答案

1．D 【解析】试题解析：A. ∵

， ∴此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

B. ∵

， ∴此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

C. ∵

， ∴此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

D. ∵

， ∴此时三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；

故选D. 2．C 【解析】∠C＝90°，AC＝3，BC＝4, AB2AC2BC2, 所以AB=5.故选C. 3．C 【解析】试题解析：如图，设大树高为AB=10m，

小树高为CD=4m，

过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，

连接AC，

∴EB=4m，EC=8m，AE=AB−EB=10−4=6m，

在Rt△AEC中，

ACAE2EC210 (m)，

故小鸟至少飞行10m. 故选C. 4．C 【解析】由题意可得DF=FN，∠DFN=90°，

∵∠DFE+∠MFN=∠DFE+∠EDF=90°，即∠EDF=∠MFN，

EDFMFN在△DEF和△FMN中，

{DEFFMN

，

DFFN∴△DEF≌△FMN（AAS），

∴DE=FM，EF=MN，

22222在Rt△DEF中，由勾股定理得：DF=DE+EF=DE+MN，

即S正方形B=S正方形A+S正方形C=8+15=23，

故选C.

5．D 【解析】试题解析：由勾股定理可得：斜边长为：

设斜边的高为 直角三角形面积

可得：斜边的高：

， 故选D. 6．D 【解析】试题解析：

,

即

这个三角形是直角三角形. 故选D. 7．C 222【解析】解：依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x=12+5=169，解得：x=13．故“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．故选C．

8．A 222【解析】解：∵AB=5，BC=12，AC=13，∴AB+BC=169=AC，∴△ABC是直角三角形，当BP⊥AC时，BP最小，∴线段BP长的最小值是：13BP=5×12，解得：BP=

60．故选A．

13

9．B 【解析】试题解析：由勾股定理得：

125， ∴数轴上点A所表示的数是51. 22a51； 故选B. 10．D 【解析】试题解析：如图，把正面和左面展开，形成一个平面，AD两点之间线段最短．

即AD81222208413cm. 如图，把正上面和上面展开，形成一个平面，AD两点之间线段最短．

即AD42162272417cm.

如图，把右面和上面展开，形成一个平面，AD两点之间线段最短．

AD82122208413cm.

故从A点到D点的最短路程为：

413cm.

故选D．

11．96 【解析】根据题意，设两直角边是3x、4x，

222则（3x）+（4x）=20，

解得x=4，所以两直角边为12，16，

1×1 ×16=96，

2所以它的面积是96，

故答案为：96. 12．3

【解析】点A的坐标是（3，4），因而OA=5，坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点就是以点A为圆心，以5为半径的圆与坐标轴的交点，圆与坐标轴的交点是原点，另外与两正半轴有两个交点，共有3的点．所以坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点有3个．

故答案是：3．

13．3 【解析】AB＝4，BD＝5，勾股定理知AD=3, BD平分∠ABC交AC于点D,所以D到BC距离是3. 故答案为3. 14．5 【解析】试题解析：如图，

在Rt△OAB中，

AOB90， ∵OA=4千米，OB=3千米，

∴ABAO2BO25千米. 所以甲、乙两人相距5千米. 故答案为：5. 15．(2＋2 3) 【解析】AB=4,所以BC=2,AC=23.把AB上的地毯分别投影到BC,AC边，易得

AB段楼梯所铺地毯的长度是AC+BC=2+23. 16．（1）24；（2）8. 【解析】试题分析：（1）在Rt△AOB中，根据勾股定理即可求得OB的长；（2）在Rt△A′OB′中，根据勾股定理求得OA′的长，即可得AA′的长，从而得梯子的底端在水平方向滑动的距离. 试题解析：

222（1）由题意得，AB=25，OA=7，AB=AO+BO，

∴OB=AB2OA22527224m．

答：这个梯子的顶端离地面24m. 222（2）由题意可得，A′B′=AB= 5m，BB′=4m，A′B′=A′O+OB′，

∴A′O=A'B'2OB'225224415m，．

2∴AA′=A′O-OA=15-7=8（米）．

答：梯子底部在水平方向滑动了8米．

17．证明见解析. 【解析】试题分析：根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，列出式子，化简即可得到勾股定理. 试题解析：证明：由题可知梯形面积为

1abab, 211ab2c2. 22此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即

：

因此

111ababab2c2.

222即a2b2c2. 18．见解析

【解析】试题分析：由勾股定理易得AB=5，设等腰三角形另一顶点为D．由于腰不固定，所以应分情况讨论．AB=AD，AB=BD，AD=BD．可以利用勾股定理求得其他边的长度．

试题解析：解：

以上四个图中任意画其中两个，并标出三角形的三边长．

19．证明见解析. 【解析】试题分析：首先把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG，可得△ACF≌△ABG．进而得到AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°，再证明△AEG≌△AEF可得EF=EG，222由∠GBE=90°利用勾股定理可得BE+CF=EF，那么根据勾股定理的逆定理得出以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．

试题解析：证明：把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG．则△ACF≌△ABG，∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．∵∠BAC=90°，∠GAF=90°，∴∠GAE=∠EAF=45°．在AGAF△AEG和△AEF中，∵{GAEEAF

，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG=EF．又∵∠GBE=90°，AEAE∴BE+BG=EG，即BE+CF=EF，∴以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．

222222

20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）本题要判定△ACE≌△BCD，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，则DC=EA，AC=BC，∠ACB=∠ECD，又因为两角有一个公共的角∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，根据SAS得出△ACE≌△BCD；

222（2）由（1）的论证结果得出∠DAE=90°，AE=DB，从而求出AD+DB=DE．

试题解析：（1）∵∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，

即∠BCD=∠ACE，

∵BC=AC，DC=EC，

∴△ACE≌△BCD；

（2）∵△ACB是等腰直角三角形，

∴∠B=∠BAC=45°，

∵△ACE≌△BCD，

∴∠B=∠CAE=45°

∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，

222∴AD+AE=DE，

由（1）知AE=DB，

222∴AD+DB=DE．