2.3.1 变量之间的相关关系教学设计一等奖

2.3 变量间的相关关系

教材分析

变量之间的关系是人们感兴趣的问题.教科书通过思考栏目“物理成绩与数学成绩之间的关系”,引导学生考察变量之间的关系.在教师的引导下,可使学生认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性.随后,通过探究人体脂肪百分比和年龄之间的关系,引入描述两个变量之间关系的线性回归方程（模型）.教科书在探索用多种方法确定线性回归直线的过程中,向学生展示创造性思维的过程,帮助学生理解最小二乘法的思想.通过气温与饮料销售量的例子及随后的思考,使学生了解利用线性回归方程解决实际问题的全过程,体会线性回归方程作出的预测结果的随机性,并且可能犯的错误.进一步,教师可以利用计算机模拟和多媒体技术,直观形象地展示预测结果的随机性和规律性.

教学目标

知识与技能

通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系. 知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．

过程与方法

经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．

情感态度与价值观

明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系.

重点难点

教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系；根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．

教学难点：变量之间相关关系的理解；作散点图和理解两个变量的正相关和负相关；理解最小二乘法的思想.

导入新课

同学们，知道长寿村长寿的秘密吗？影响人们长寿的因素有哪些？

为很好地说明上述问题,我们开始学习变量之间的相关关系和两个变量的线性相关. 如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系。

探究新知

问题1、对于两个变量之间的关系，我们之前学过，函数关系是一种确定性关系。那么下列变量与变量之间哪些是确定性的函数关系，哪些是不确定相关关系

1正方形边长与面积之间的关系

○

②圆的半径与圆的周长之间的关系

③年龄与人体的脂肪含量之间的关系

④数学成绩与物理成绩之间的关系. 请同学们试举几个现实生活中相关关系的例子。

散点图

问题2 在一次对人体脂肪含量和年龄的关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据：

年龄

23

27

39

41

45

49

50

脂肪

9.5

17.8

21.2

25.9

27.5

26.3

28.2

年53

龄

54

56

57

58

60

61

脂29.6

30.2

31.4

30.8

33.5

35.2

34.6

肪

根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？

思考：上图叫做散点图，你能描述一下散点图的含义吗？

将样本的n个数据对描在平面直角坐标系中，所得的图形称为散点图

1).如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系

2).如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相应的相关关系。

3).如果所有的样本点都落在某一直线附近，

变量之间就有线性相关关系 .

散点图：用来判断两个变量是否具有相关关系

正相关、负相关

年龄与脂肪含量之间的散点图

气温与热饮杯数之间的散点图

上面的散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关。

下面的散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关

线性相关

问题3 下面两个散点图中点的分布有什么不同？

年龄与脂肪含量之间的散点图

种植西红柿，施肥量与产量

之间的散点图

观察年龄与脂肪含量之间的散点图，发现这些点大致分布在一条直线附近。像这样如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线(regression line).

本班期中考试数学成绩与物理成绩的散点图

从散点图上可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线(regression line).如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程),那么我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性.就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样,这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表. 从散点图上可以发现,人体的脂肪百分比和年龄的散点图,大致分布在通过散点图中心的一条直线. 那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢?

有的同学可能会想,我可以采用测量的方法,先画出一条直线,测量出各点与它的距离,然后移动直线,到达一个使距离的和最小的位置,测量出此时的斜率和截距,就可得到回归方程了.但是,这样做可靠吗?

有的同学可能还会想,在图中选择这样的两点画直线,使得直线两侧的点的个数基本相同.同样地,这样做能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗?

还有的同学会想,在散点图中多取几组点,确定出几条直线的方程,再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数,将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距.

同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行? （学生讨论：1.选择能反映直线变化的两个点.2.在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本相同.3.多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直线的斜率、截距.）教师：分别分析各方法的可靠性.如下图：

上面这些方法虽然有一定的道理,但总让人感到可靠性不强.

实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的距离最小”.人们经过长期的实践与研究,已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式

n(xix)(yiy)i1bn(xix)2i1aybx.xyii1ni1ninxy,(1)

xi2nx2其中，b是回归方程的斜率，a是截距. 推导公式（1）的计算比较复杂，这里不作推导.但是,我们可以解释一下得出它的原理. 假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)，

且所求回归方程是y=bx+a, 其中a、b是待定参数.当变量x取xi(i=1,2,…,n)时可以得到y=bxi+a(i=1,2,…,n),

它与实际收集到的yi之间的偏差是yi-y=yi-(bxi+a)(i=1,2,…,n).

^^^

这样，用这n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.由于（yi-y可正可负，为了避免相互抵消，可以考虑用^|yi1niyi|来代替，但由于它含有绝对值，运算^不太方便，所以改用

Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2

②

来刻画n个点与回归直线在整体上的偏差.这样，问题就归结为:当a,b取什么值时Q最小，即总体偏差最小.经过数学上求最小值的运算，a,b的值由公式①给出. 通过求②式的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法（method of

least square）.

例1、某种广告费支出x与销售额y(单位：百万元）之间有如下对应数据：

x

y 3

30 5

40 6

60 7

50 9

70

(1)求回归直线方程；

(2)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？

例2

有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：

摄氏温度/℃

热饮杯数

-5 156 0 150 4 132 7 128 12 130 15 116 19 104 23 89 27 93 31 76 36 54 （1）画出散点图；

（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；

（3）求回归方程；

（4）如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数.

小结

求线性回归方程的步骤：

（1）计算平均数x,y；

(2)计算xi与yi的积，求∑xiyi; (3)计算∑xi2,∑yi2，

n(xix)(yiy)i1bn(4)将上述有关结果代入公式(xix)2i1aybxxyii1ni1ninxy,

xi2nx2求b,a,写出回归直线方程．