小结主要内容及教案内容

精讲多练 勤查善导 备则明细 节有所成 教学年级

课型

章节课题

高一

复习课

教学班级

节次

483 4 教学时间

课时

2018 年 7月

10 日

1 平面向量 小结复习

向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。向量概念引入后，全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数教材分析

量积运算(运算律)，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。

本章是人教A版必修4的第二章，沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学与物理学科中具有广泛的作用。

总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在向量综合应用的探求上有一定的难度，在知识的综合应用中归类，分析不同题型，尝试学学情分析

生自主总结等能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学***难点。

设计本节课时，设计了不同的题型，让学生从已有的知识出发解决，设计理念

自主分析、探究解决问题，激发学生浓厚的学习兴趣，培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力，提高学生综合应用能力。

学科文化

核心基础

素1.

复习向量的概念和向量的线性运算、数量积运算。

2.

复习共线向量定理和平面向量基本定理。

3.

复***面向量的应用。

让学生动起来

让课堂活起来

让效率高起来

精讲多练 勤查善导 备则明细 节有所成 养

自主

通过自主复习，列出章节知识结构图掌握平面向量主要知识，并发展

能应用其解决问题。

社会

培养学生总结能力，综合应用能力；通过平面向量知识间的关系，参与

来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

课表要求：

目标解读

掌握向量的概念和向量的线性运算、数量积运算，共线向量定理和平面向量基本定理及平面向量的应用。

向量的概念和向量的线性运算、数量积运算，共线向量定理和平面知重点

识向量基本定理及平面向量的应用。

重难点

难点

知识的综合应用

教学环节

（想、议、练、读、讲）

回顾知识网络结构——具体概念——易错警示——考点分析——解决问题——尝试小结

采用复习导课，启发引导学生主动回顾总结，让学生做主，主动教教法

参与到课堂，在自主学习中汲取知识。

学方自主探究、发现，解决问题，自主归纳、练习、总结，注重知识法

学法

的综合应用，突出考点。

媒体

教学案

学辅用品

助

用具

教学环节

PPT 导学案

黑板 粉笔 三角板

教师活动

学生活动

设计理念

让学生动起来

让课堂活起来

让效率高起来

精讲多练 勤查善导 备则明细 节有所成 学生课前课前三分钟

（读一读）

读预备知识点

三分钟

复习旧知为探究新知做铺垫

通过回顾知PPT呈现

复习回顾，

问题：本章我们可以解决有哪些类型的问知识体系

题？

1.五种常见的向量

(1)单位向量：模为__的向量. (2)零向量：模为__的向量. (3)平行(共线)向量：方向___________的向量.

(4)相等向量：模相等、方向_____的向量

(5)相反向量：模相等、方向_____的向量

核心速记

2.两个重要定理

清晰概念

(1)向量共线定理：向量________与b共线，学生回忆

当且仅当

有唯一一个实数λ，使______. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两

个___________，那么对于这一平面内的任一向量a，

思考解决

学生回答，

识体系，归纳可以解决的题型，初步完善知识点。

精心设计问题串,以问题驱动，学生主动参与知识建构，形成方法、提升能力。

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精讲多练 勤查善导 备则明细 节有所成 有且只有一对实数λ____________，其中

e1，e2是一组基底. 1，λ2，使3.两个非零向量平行、垂直的充要条件

若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则：

(1)a∥b⇔a=λb(λ≠0)⇔__________. (2)a⊥b⇔a·b=0⇔__________. 4.平面向量的三个性质

(1)若a=(x，y)，则|a|=aa = . (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|= ________________. (3)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则

cosθ= 5.向量的投影

(1)向量a在b方向的投影为___________. (2)向量b在a方向的投影为___________. 6.向量的运算律

(1)交换律：

a+b=b+a，a·b=b·a. (2)结合律：

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精讲多练 勤查善导 备则明细 节有所成 a+b+c=(a+b)+c，a-b-c=a-(b+c)，

(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb). (3)分配律：

(λ+μ)a=________，

λ(a+b)=________，

(a+b)·c=a·c+b·c. (4)重要公式：

(a+b)·(a-b)=_____，

(a±b)2=____________. 1.有关向量的注意点

(1)零向量的方向是任意的. (2)平行向量无传递性，即a∥b，b∥c时，a与c不一定是平行向量. (3)注意数量积是一个实数，不再是一个向量. 易错警示

2.向量的运算律中注意点

(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一

个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实

数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边

总结

学生思考借此引发学生的认知冲突，引导学生逐步完善向量体系，使学生产生进一步探索解决问题的动机

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精讲多练 勤查善导 备则明细 节有所成 同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向

量不能相除(相约).

(2)向量的“乘法”不满足结合律，即(a·b)c≠a(b·c).

考点分析

巩固练习

类型一

平面向量的线性运算及应用

巩固熟悉向量知识，从例题的思考，展示，交流，点评中使学生对向量有进一步的体验。

【典例1】(1)已知O，A，B是平面上的三

个点，直线AB上有一点C，满足

2ACCB =0，则OC

等于( )

(2)设向量a=(1，-3)，b=(-2，4)，c=(-1，

-2)，若表示向量4a，4b-2c，2(a-c)，d

的有向线段首尾相接能构成四边形，则向

量d为( ) A.(2，6) B.(-2，6) C.(2，-6) D.(-2，-6) 【练一练】

（

）(1)化简：AD BCACDB

学生分析，教师点评

纠正错误

(2)已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).

设ABa，BCb，CAc.

①求3a+b-3c；

②求满足a=mb+nc的实数m，n. 类型二 平面向量数量积的运算

【典例2】如图所示，在等腰直角三角形

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精讲多练 勤查善导 备则明细 节有所成

AOB中，OA=OB=1， ，则

AB4AC =______. OC(OBOA)

【练一练】

1.(2018年)已知向量a,b满足

|a|=1,a·b=-1,则a· (2a-b)=

2.(2015年)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则

(2a+b)·a=

3.(2013年)已知正方形ABCD的边长为2，

E为CD的中点，

则

AEBD类型三 平面向量的平行与垂直问题

【典例3】已知向量a=(1，2)，b=(1，0)，

c=(3，4)．

若λ为实数，(a+λb)∥c，则

λ=( )

【练一练】(2016·全国卷Ⅰ)设向量a=(x，

x+1)，b=(1，2)，且a⊥b，则x=______

类型四 平面向量的模与夹角

【典例4】(1)向量a，b满足

(a-b)·(2a+b)=-4，且|a|=2，|b|=4，则a，

b的夹角等于________.

(2)已知|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是

120°.

设计了题后反思，主要是培养学生经常反思总结的习惯结合已有知识，体会向量这一工具的重要性

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精讲多练 勤查善导 备则明细 节有所成

尝试小结，

巩固重点

①计算|a+b|，|4a-2b|；

②当k为何值时，(a+2b)⊥(ka-b)？

【练一练】

1.平面向量a与b的夹角为60°，a=(2，

0)，|b|=1，则|a+2b|=

２．向量e1，e2是夹角为60°的两个单位

向量，则向量a=2e1+e2与b=-3e1+2e2的夹角

为________.

本节课你学了什么内容？

1．向量的线性运算实质上是向量的加、减法及数乘运算，实现用基底表示向量的目的．在解题过程中要注意结合共线向量定理的应用．

2. 平面向量数量积的应用主要是解决向量的夹角、模、垂直问题．在处理问题时，除考虑定义计算外，还要充分利用向量的线性运算、数形结合解决问题．

3. 平面向量的应用主要体现在向量与平面几何、向量与三角、向量与解析几何、向量与物理等方面的结合，解决问题的关键是恰当引入向量，通过向量运算解决问题

学生尝试总结，教师补充。

小结目的是让学生经历整个探究学习过程，对本节课有整体的认识

让学生动起来

让课堂活起来

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精讲多练 勤查善导 备则明细 节有所成 学业巩固

任务布置

1、已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R. (1)若a⊥b，求x的值；

(2)若a∥b，求|a－b|. 2、在平面直角坐标系xOy中，

已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．【来源：全品…中&高*考*网】

作业是巩固熟悉平面向量，加深理解。

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

OC＝0，求t的值．

(2)设实数t满足(AB－tOC)·平面向量——小结与复习

1.

知识网络结构 例题分析

板书设计

2.

相关概念 练习

3.

易错警示 小结

4.

相关题型

安全提示

多喝热水，注意防暑

学生板书

精心设计

一目了然

教学反思

让学生动起来

让课堂活起来

让效率高起来