阅读与思考 概率与密码名师教学视频（文字实录）

3.3 几何概型

教学目标：

知识与技能：

（1）正确理解几何概型的概念；

（2）掌握几何概型的概率公式：P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）；

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；

（4）了解均匀随机数的概念；

（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；

（6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．

过程与方法：

（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；

（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。

教学重点与难点：

1、几何概型的概念、公式及应用；

2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．

学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学．

教学过程：

一、创设情境：

在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随

机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。

思考：我们做这样一个试验：往一个圆木盘上掷飞镖，飞镖可能落在圆盘上的任何一个位置． 问题1：本试验的结果有多少个？ 提示：无限个 问题2：每个试验结果出现的可能性机会均等吗？

提示：均等 问题3：它与古典概型有何区别？

提示：古典概型中试验结果是有限的，而本试验的结果是无限的 二、基本概念：

（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；

（2）几何概型的概率公式：P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）；

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．

注：1．从几何概型的定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与区域的位置、形状无关．

2．用几何概型的概率公式来计算事件发生的概率时，适用于有无限多个试验结果的情况，每种结果的出现也要求必须是等可能的．而且事件发生在一个有明确范围的区域中，其概率与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例．

三、例题分析：

例1、在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长大于AC的长的概率． 思路点拨：点M随机地落在线段AB上，故试验所有点所在的区域为线段AB，在AB上截取AC′＝AC，则当点M位于线段BC′上时，AM>AC.故“AM的长度大于AC的长度”的度量为BC′. 精解详析：设AC＝BC＝a，则AB＝2a，在AB上截取AC′＝AC，于是P(AM>AC)

＝P(AM>AC′)

＝BC′AB－AC2a－2a2－22－2＝＝＝.即AM的长大于AC的长的概率为. ABAB2a22练习：

1．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边长作正方形，这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为

(

)

36A.

811212B. C.

36811 D.

4

2．取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？ 例2、在平面直角坐标系中，过O在第一象限内任作一条射线OA，求OA与x轴的夹角小于60°的概率． 思路点拨：确定OA的边界位置，利用公式求概率． 精解详析：由于OA是第一象限内任意一条射线，所以试验的全部结果构成的区域是

第一象限，即区域的角度为90°.在第一象限内作∠BOx＝60°，则OA落在∠xOB内时，事件A“OA与x轴夹角小于60°”发生，即构成事件A的区域的角度为60260°，由几何概型公式可得P(A)＝＝. 903练习：

3．如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为

(

)

B.31 C.

23

1A.

21

D.

44．如图所示，在圆心角为90°的扇形中，

以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．

例3、一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率． 思路点拨：海豚在水池中自由游弋，其位置有无限个，且在每个位置是等可能的，故这是几何概型问题，海豚游弋区域的面积与水池面积之比就是所求的概率． 精解详析：如图，实验的全部结果构成的区域Ω是长30 m、宽20 m 的长方形．图中阴影部分表示构成

事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”的区域，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率

练习：

5．(2012·日照高一检测)ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，

O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为 (

) A.π

4

B．1－ππ C. 48

D．1－π

86.一个投针实验的模板如图所示，AB为半圆O的直径，点C在半圆上， 且CA＝CB.现向模板内任投一针，

则该针恰好落在△ABC内(图中的阴影区域)的概率是________． 例4：(2012·中山高一检测)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，求点P到点O的距离大于1的概率． 思路点拨：利用体积比求概率． 精解详析：圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π是试验的全部结果构成的区域体积．

14π2π3以O为球心，1为半径且圆柱内部的半球的体积V半球＝××1＝，

2332π4π则构成事件A“P到点O的距离大于1”的区域体积为2π－＝，由几何概334π32型的概率公式得P(A)＝＝. 2π3练习

7．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于

等(

) A.2

2于a的概率为 B.21π C.

261 D.π

68．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________． 例5、某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．

分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件. 解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= 即此人等车时间不多于10分钟的概率为1．

660501=，606小结：在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从[0,60]上的均匀分布，X为[0,60]上的均匀随机数．

四、课堂小结：

1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例；

2、均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数 ）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量．

五、自我评价与课堂练习：

1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，

则发现草履虫的概率是（ ）

A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定

2．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r

3．某班有45个，现要选出1人去检查其他班的卫生，若每个人被选到的机会均等，则恰好选中学生甲主机会有多大？

4．如图3-18所示，曲线y=-x2+1与x轴、y轴围成一个区域A，直线x=1、直线y=1、x轴围成一个正方形，向正方形中随机地撒一把芝麻，利用计算机来模拟这个试验，并统计出落在区域A内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数。

六、布置作业 习题3.2A组第5、6题

七、教后记