2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优质课教案内容

平面向量基本定理(教案) 一、教学内容

“平面向量基本定理”是《普通高中课程标准实验教科书•数学必修4》（人教A版）第二章第三节的第一课时，属于概念性知识．

《新课标》要求“了解平面向量基本定理及其意义”，对平面向量基本定理的探究既是对前面所学向量线性运算知识的综合应用和对平行向量基本定理的推广，又为后继的平面向量坐标表示奠定了理论基础，充分展现了数学结构体系的严谨性和逻辑性，探究过程有助于学生体会数学思维的方式和方法，培养学生进行数学思考和数学表述的能力．

二、教学目标

1、通过观察、猜想、实验验证、逻辑推理，知道平面向量基本定理是如何得来的，理解平面向量基本定理中关键词的含义；

2、通过与平行向量基本定理的比较，揭示知识之间的内在联系，提高对知识体系的整体认识；

3、在概念的发生、发展和深化的过程中，体会特殊与一般，对立与统一的辩证观点．

三、重点难点

重点：平面向量基本定理在向量知识体系中起着承上启下的重要作用，本节课的教学重点是平面向量基本定理的探究和理解．

难点：在前两节中，学生已经学习了向量的基本概念、线性运算以及平行向量基本定理等知识，但向量的分解是对向量线性运算法则的逆用，对定理中任意性和唯一性的理解和验证也是学生的一个难点．

四、教学策略

本节课在猜想的形成，以及对定理中的存在性、任意性、唯一性的验证和证明过程中，问题思维力度大，师生互动多．根据学情对每一个活动做好了充分的预案，针对学生的不同反馈，灵活地进行引导启发；对每一个问题的提出，注意了设问的梯度和问题的明确性，针对解决过程设计好“提示”和“追问”，使不同认知基础的学生都能得到相应的收获．

五、教学过程

情境创设：

红海行动》最大的亮点是中国海军多艘现代化作战舰艇的加盟。相比《战狼2》里的惊鸿一瞥，直到最后关头才齐射导弹的情节设置，《红海行动》里的中国海军054A导弹护卫舰可以算是绝对的明星。观察图片，体会向量的任意性。

复习引入：

问题1：请自己给定平面内的两个向量e1,e2

（1）作出

2e1

,

3e2

（2）作出

2

e

1



3

e

2

，

设计意图：

1．复习向量的线性运算；

2．使学生感受到用平面内两个给定向量的线性运算，可以表示出许多不同的向量；

3．引出本节课要研究的问题．

活动探究：

思考1：形如1e12e2的向量，是否均可用

e1,e2表示? 思考2：平面内的任一向量是否都可以用形如

2e13e21e12e2的向量表示呢？

思考3：如果平面内的任一向量都可以用形如1e12e2的向量来表示，那么这种表示形式是唯一的吗？

设计意图：

1．说明当给定的两个共线的非零向量时，只能表示与他们共线的向量，从而形成定理中的“不共线”；

2．说明当给定的两个向量不共线时，只能表示与他们共面的向量，从而形成定理中的“这一平面内”；

3．由猜想是否成立，对定理中的存在性、任意性、唯一性的验证,引导概念的形成.

概念形成: 平面向量基本定理：

如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a存在唯一一对实数1,2使a1e12e2．

我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的基底(base)．

例题分析：

例1、若向量a与b不共线，且c2ab,d3a2b，试判断向量c,d能否作为一组基底？

练习1、已知

e1,e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下列四组向量中不能作为一组基底的是（

）

A.

e1e2和e1e2 B.

3e12e2和4e26e1

C.

e13e2和e23e1 D.

e2和e1e2

练习2：请用以下三组基底分别表示a

思考4：观察上面三组基底的相对位置关系，有什么不同？

例2、在等边三角形中，求

(1)AB与AC的夹角；

(2)AB与BC的夹角；

(3)

BA与CA的夹角．

问题2：选择具有什么特征的基底会为研究向量问题带来方便？

练习3：如下图，用i,j表示下面三个向量

课堂小结

1. 平面向量基本定理: 如果e1,e2是同一平面内的两个____________向量，

那么对于这一平面内的______________向量

a，______________一对实数1,2，使a1e12e2

平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点．

2.向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，

平行向量的夹角是__________________________ ；

垂直向量的夹角是

_________________________ ；

向量夹角的范围：_________________________ ．

巩固作业

课后练习与提高：

2.3平面向量的基本定理及坐标表示（1）

课后反思

课标中对平面向量基本定理的要求是了解，而本节课花了较大的精力去发现、验证和理解，一方面是希望学生能够认识到这个定理的价值，另一方面是希望学生通过这节课的探究，经历一个数学概念形成的过程，体会其中蕴含的合理的思维方式．而简单介绍向量的夹角是为了让学生体会选择具有什么特征的基底会为研究向量问题带来方便，为下一节课——平面向量的坐标表示，奠定基础．