2.1.2 向量的几何表示教案2

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向量减法运算及其几何意义

【知识梳理】

1．相反向量

与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. (1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；

(2)－(－a)＝a；

(3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；

(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 2．向量的减法

(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．

(2)几何意义：以O为起点，作向量OA＝a，OB＝b，则BA

＝a－b，如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．

【常考题型】

题型一、向量的减法运算

【例1】

化简：(1)(AB－CD)－(AC－BD)；

(2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)．

[解]

(1)(AB－CD)－(AC－BD) ＝(AB＋BD)－(AC＋CD)＝AD－AD＝0. (2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB) ＝(AC＋BA)－(OC－OB)＝BC－BC＝0

【类题通法】

1．向量减法运算的常用方法

2．向量加减法化简的两种形式

(1)首尾相连且为和；

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(2)起点相同且为差．

做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．

【对点训练】

化简下列各式：

(1)AB－AC－DB；

(2)AB＋BC－AD；

(3)AB－CD－DB. 解：(1)AB－AC－DB＝CB＋BD＝CD. (2)AB＋BC－AD＝AC－AD＝DC. (3)AB－CD－DB＝AB＋DC＋BD＝AB＋BD＋DC＝AC. 题型二、向量的减法及其几何意义

【例2】

(1)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(

) A．AB－AD＝BD

B．AD＋AB＝AC

C．AB＝DC

D．AD＋CB＝0

(2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.

[解]

(1)选A

由向量减法的几何意义可知，AB－AD＝DB≠BD，故选A. (2)法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作OC＝c，则CB＝a＋b－c. 法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作CB＝c，连接OC，则OC＝a＋b－c.

【类题通法】

求作两个向量的差向量的两种思路

(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．

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(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．

【对点训练】

在本例(2)的条件下作出向量：

①a－b＋c；②a－b－c. 解：如图所示．

题型三、利用已知向量表示未知向量

【例3】

如图，解答下列各题：

(1)用a，d，e表示DB；

(2)用b，c表示DB；

(3)用a，b，e表示EC；

(4)用d，c表示EC. [解]

由题意知，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DE＝d，EA＝e，

则(1)DB＝DE＋EA＋AB＝d＋e＋a. (2)DB＝CB－CD＝－BC－CD＝－b－c. (3)EC＝EA＋AB＋BC＝a＋b＋e. (4)EC＝－CE＝－(CD＋DE)＝－c－d. 【类题通法】

用已知向量表示某向量的基本步骤

第一步：观察各向量的位置；

第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；

第三步：运用法则找关系；

第四步：化简结果．

【对点训练】

如图，已知OA＝a，OB＝b，

OC＝c，OD＝d，OF＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：

(1)AC；(2)AD；

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(3)AD－AB；

(4)AB＋CF；

(5)BF－BD. 解：(1)AC＝OC－OA＝c－a. (2)AD＝AO＋OD＝OD－OA＝d－a. (3)AD－AB＝BD＝OD－OB＝d－b. (4)AB＋CF＝OB－OA＋OF－OC＝b－a＋f－c. (5)BF－BD＝OF－OB－(OD－OB)＝OF－OD＝f－d. 【练习反馈】

1．在三角形ABC中，BC＝a，CA＝b，则AB＝(

) A．a－b

C．a＋b

B．b－a

D．－a－b

解析：选D

AB＝CB－CA＝－BC－CA＝－a－b. 2．有下列不等式或等式：

①|a|－|b|<|a＋b|<|a|＋|b|；

②|a|－|b|＝|a＋b|＝|a|＋|b|；

③|a|－|b|＝|a＋b|<|a|＋|b|；

④|a|－|b|<|a＋b|＝|a|＋|b|. 其中，一定不成立的个数是(

) A．0

C．2

B．1 D．3 解析：选A

①当a与b不共线时成立；②当a＝b＝0，或b＝0，a≠0时成立；③当a与b共线，方向相反，且|a|≥|b|时成立；④当a与b共线，且方向相同时成立．

3.如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中OB＝b，OC＝c，则EF等于________．

解析：EF＝OA＝CB＝OB－OC＝b－c. 答案：b－c

4．化简AB＋DA－DB－BC－CA的结果是________．

解析：原式＝AB＋(DA－DB)－(BC＋CA) ＝AB＋BA－BA＝AB. 答案：AB

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5．已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：EF＋EF＝AB＋DC. 证明：法一：如图，在四边形CDEF中，EF＋FC＋CD＋DE＝0，

所以EF＝－FC－CD－DE

＝CF＋DC＋ED.①

在四边形ABFE中，EF＋FB＋BA＋AE＝0，

所以EF＝BF＋AB＋EA.②

①＋②，得

EF＋EF＝CF＋DC＋ED＋BF＋AB＋EA

＝(CF＋BF)＋(ED＋EA)＋(AB＋DC)．

∵E，F分别是AD，BC的中点，

∴ED＋EA＝0，CF＋BF＝0. ∴EF＋EF＝AB＋DC. 法二：如图，在平面内取点O，

连接AO，EO，DO，CO，FO，BO，则

EF＝EO＋OF＝EA＋AO＋OB＋BF，

∵E，F分别是AD，BC的中点，

∴DE＝EA，BF＝FC. ∴EF＋EF＝EA＋AO＋OB＋BF＋EA＋AO＋OB＋BF

＝DE＋AO＋OB＋FC＋EA＋AO＋OB＋BF

＝(AO＋OB)＋(DA＋AO＋OB＋BC) ＝AB＋(DO＋OC)＝AB＋DC. www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

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