探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期优质课一等奖教案

三角函数模型的简单应用

一、导入新课

思路1.通过展示上节作业引入,学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有:物理情景的①简单和谐运动,②星体的环绕运动；地理情景的①气温变化规律,②月圆与月缺；心理、生理现象的①情绪的波动,②智力变化状况,③体力变化状况；日常生活现象的①涨潮与退潮,②股票变化等等.

思路2.(复习导入)回忆上节课三角函数模型的简单应用例子,这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用.

二、推进新课、新知探究、提出问题

①本章章头引言告诉我们,海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象.回忆上节课的内容,怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？在指数、对数模型中是怎样处理搜集到的数据的？

②请做下题(2007浙江高考)若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R(其中ω＞0,|φ|＜正周期是π,且f(0)=3,则(

) A.ω=ω=2,φ=)的最小211,φ=

B.ω=,φ=

C.ω=2,φ=

D.63622

3

活动:这样的开头对学生来说是感兴趣的.教师引导学生复习、回忆、理清思路,查看上节的课下作业.教师指导、适时设问,让学生尽快回忆到上节课的学习氛围中,使学生的思维状态进入到现在的情境中. 讨论结果:①略

②D

三、应用示例

例1 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:

时刻

水深/米

0:00 5.0 3:00 7.5 6:00 5.0 9:00 2.5 12:00 5.0 15:00 7.5 18:00 5.0 21:00 2.5 24:00 5.0 (1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001). (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?

活动:引导学生观察上述问题表格中的数据,会发现什么规律?比如重复出现的几个数据.并进一步引导学生作出散点图.让学生自己完成散点图,提醒学生注意仔细准确观察散点图,

如图6.教师引导学生根据散点的位置排列,思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律.根据散点图中的最高点、最低点和平衡点,学生很容易确定选择三角函数模型.港口的水深与时间的关系可以用形如y=Asin(ωx+φ)+h的函数来刻画.其中x是时间,y是水深,我们可以根据数据确定相应的A,ω,φ,h的值即可.这时注意引导学生与“五点法”相联系.要求学生独立操作完成,教师指导点拨,并纠正可能出现的错误,直至无误地求出解析式,进而根据所得的函数模型,求出整点时的水深.

图6

根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.注意引导学生正确理解题意,一天中有两个时间段可以进港.这时点拨学生思考:你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？让学生养成检验的良好习惯.

在本例(3)中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.求货船停止卸货,将船驶向深水域的含义又是什么?教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候. 进一步引导学生思考:根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价.通过讨论或争论,最后得出一致结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨. 解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图(图6). 根据图象,可以考虑用函数y=Asin(ωx+φ)+h刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出: A＝2.5,h＝5,T＝12,φ＝0, 由T＝2＝12,得ω＝. 6所以这个港口的水深与时间的关系可用y＝2.5sin由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值: 时刻

水深

0:00 1:00 2:00 3:00 7.5 4:00 5:00 x+5近似描述. 67:00 8:00 9:00 10:00 11:00 6:00 5.000 6.250 7.165 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754

时刻

水深

12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 (2)货船需要的安全水深为4+1.5＝5.5(米),所以当y≥5.5时就可以进港.

令2.5sinx+5=5.5,sinx=0.2. 66由计算器可得

MODE MODE 2 SHIFT

sin-1

0.2 = 0.201 357 92≈0.201 4. 如图7,在区间[0,12]内,函数y＝2.5sinx+5的图象与直线y＝5.5有两个交点A、B, 6

图7 因此x≈0.201 4,或π－x≈0.201 4. 66解得xA≈0.384 8,xB≈5.615 2. 由函数的周期性易得:xC≈12+0.384 8＝12.384 8,xD≈12+5.615 2＝17.615 2. 因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.

图8 (3)设在时刻x货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点(如图8).

通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.

点评:本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题,题目只给出了时间与水深的关系表,要想由此表直接得到函数模型是很困难的.对第(2)问的解答,教师引导学生利用计算器进行计算求解.同时需要强调,建立数学模型解决实际问题,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析.如本例中,一天中有

两个时间段可以进港,教师应引导学生根据问题的实际意义,对答案的合理性作出解释.

变式训练

发电厂发出的电是三相交流电,它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数,IA=Isinωt,IB=Isin(ωt+120°),IC=Isin(ωt+240°),则IA+IB+IC=________. 答案:0

例2 图9,是一个单摆的振动图象,据图象回答下列问题: (1)单摆振幅多大；

(2)振动频率多高；

(3)摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置；

(4)摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置；

(5)若当g＝9.86 m/s2J,求摆线长.

活动:引导学生观察图象并思考,这个简谐运动的函数模型是什么？引导学生结合函数上例.点拨学生考虑最高点、最低点和平衡点.通过学生讨论、思考确定选用函数y=Asin(ωx+φ)来刻画单摆离开平衡位置的位移与时间之间的对应关系.

图9 解:结合函数模型和图象: (1)单摆振幅是1 cm；

(2)单摆的振动频率为1.25 HZ；

(3)单摆在0.6 s通过平衡位置时,首次具有速度的最大负值；

(4)单摆在0.4 s时处正向最大位移处,首次具有加速度最大负值；

(5)由单摆振动的周期公式T=2πgT2L,可得L==0.16 m. 24g

点评:解决实际问题的关键是要归纳出数学函数模型,然后按数学模型处理.同时要注意检验,使所求得的结论符合问题的实际意义. 变式训练

1.已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为4. (1)求函数f(x)的解析式；

(2)若sinx+f(x)＝22,求sinxcosx的值. 3解:(1)∵f(x)为偶函数, ∴f(－x)＝f(x),即sin(－ωx+φ)＝sin(ωx+φ). ∴φ＝

. 2

)＝cosωx. 2相邻两点P(x0,1),Q(x0+,－1). ∴f(x)＝sin(ωx+

由题意,|PQ|＝(∴f(x)＝cosx. (2)由sinx+f(x)＝2)4=π2+4.解得ω＝1. 22,得sinx+cosx＝. 335两边平方,得sinxcosx＝. 182.小明在直角坐标系中,用1 cm代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象.若他将纵坐标改用2 cm代表一个单位长度,横坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2 cm代表一个单位长度,而纵坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？

解:小明原作的曲线为y=sinx,x∈R,由于纵坐标改用了2 cm代表一个单位长度,与原来1 cm代表一个单位长度比较,单位长度增加到原来的2倍,所以原来的1 cm只能代表个单位长度了.由于横坐标没有改变,曲线形状没有变化,而原曲线图象的解析式变为y＝sinx,x∈R.同理,若纵坐标保持不变,横坐标改用2 cm代表一个单位,则横坐标被压缩到原来的,原曲线周期就由2π变为π.故改变横坐标后,原曲线图象的解析

式变为y＝sin2x,x∈R.

3.求方程lgx＝sinx实根的个数. 解:由方程式模型构建图象模型. 在同一坐标系内作出函数y＝lgx和y＝sinx的图象,如图10.可知原方程的解的个数为3. 121212

图10

点评:单解方程是很困难的,而根据方程式模型构建图象模型,利用数形结合来解就容易多了,教师要让学生熟练掌握这一方法.

四、课堂小结

1.让学生回顾本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题,用三角函数模型刻画周期变化规律对国家建设、制定未来计划,以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用. 2.三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题,其解答流程大致是:审读题意→设角建立三角式→进行三角变换→解决实际问题.在解决实际问题时,要学会具体问题具体分析,充分运用数形结合的思想,灵活的运用三角函数的图象和性质解决现实问题.

五、作业

图11 如图11,一滑雪运动员自h=50 m高处A点滑至O点,由于运动员的技巧(不计阻力),在O点保持速率v0不变,并以倾角θ起跳,落至B点,令OB=L,试问,当α=30°时,L的最大值为多少?当L取最大值时,θ为多大?

分析:本题是一道综合性题目,主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.首先运用物理学知识得出目标函数,其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题. sLcosav0tcos解:由已知条件列出从O点飞出后的运动方程:12

hLsinav0tsingt.2由①②,整理得v0cosθ=LcosaLsina1,v0sinθ=+gt. tt2∴v02+gLsinα122L2122L2=gt+2≥2gt2=gL. 4t4t1mv02, 2运动员从A点滑至O点,机械守恒有mgh=2v02gh∴v02=2gh.∴L≤=200(m), g(1sina)g(1sina)即Lmax=200(m). 122s2h2L2又gt==2, 24tt∴t=

2L2L,s=Lcosα=v0tcosθ=2gh··cosθ, gg

得cosθ=cosα.∴θ=α=30°. ∴L最大值为200米,当L最大时,起跳倾角为30°.