探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质特级教师教学实录

利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质

教学目标

1、知识与技能目标：

⑴利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦函数值；

⑵利用三角函数线得到正弦函数、余弦函数的性质。

2、过程与方法目标：借助几何画板让学生经历概念的形成过程以及性质的判定过程，进一步训练学生的数形结合思维能力，让学生主动观察、发现、类比、探索。

3、情感态度与价值观目标：激发学生自主探究的积极性，鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯，从而改进学习方式，提高思维能力。

教学重点：三角函数线的定义及作法；利用三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质。

教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦函数值分别用它们的几何形式表示出来。

教学过程

一、设置疑问，探索总结

l1、复习回顾：（其中l是以角作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径）

r特别地，当r

=1时，r，时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值。

类比提问：能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦函数值呢？

2、分散难点：

（1）有向线段：带有方向的线段。

（2）有向线段的方向：按书写顺序，前者为起点，后者为终点，由起点指向终点。

如图⑴：有向线段OM，O为起点，

M为终点，由O点指向M点；

（3）有向线段的数值（只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段）：

绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同向，取正值；与坐标轴反向，取负值。

如图⑵：OM= 1，ON= -1，AP＝1/2。

（1）

（2）

4、复习提问：

（1）任意角的正弦如何定义?

（2）能否用几何图形表示出角的正弦呢?

与单位圆有关的有向线段MP叫做角的正弦线，有向线段OM叫做角的余弦线

总结作法：

1．正弦线与余弦线的做法：

第一步：作出角的终边，与单位圆交于点P；

第二步：过点P作x轴的垂线，设垂足为M，得正弦线MP、余弦线OM。

2．正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线

二、动态演示，研究性质

观察角的终边在各位置的情形，结合正弦线、余弦线和已学知识，你能得出正弦函数、余弦函数的哪些性质？并说明理由。

性质1：周期性

自变量每增加2π（角旋转一周），正弦线（MP）、余弦线（OM）重复出现。

正弦函数、余弦函数是周期函数。

性质2：奇偶性

Ⅰ.回顾判断函数奇偶性的步骤；

Ⅱ.考察函数中的自变量角α与角－α相应的的正（余）弦线之间的位置关系；

正弦线关于x轴对称，余弦线重合；

Ⅲ.判定正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数

。

性质3：单调性

请根据正弦线的变化规律思考正弦函数是否存在单调区间？如果存在，判断在相应的单调区间是增函数还是减函数，并填写下列表格：

角α

正弦线MP sinx

-1→0→1

增函数

1→0→-1 减函数

请根据余弦线的变化规律，完成余弦函数单调性讨论表格：

角α

余弦线OM cosx

-1→0→1

增函数

1→0→-1 减函数

性质4：最大值、最小值

请根据对正弦线、余弦线的变化规律的观察，完成下表：

角α

正弦线MP sinx

-1 最小值

1 最大值

角α

余弦线OM cosx

-1 最小值

1 最大值

三、课堂小节，布置作业

1、课堂小结：

（1）三角函数线（正弦线、余弦线）及其作法；

（2）结合正弦线、余弦线研究正弦函数、余弦函数的性质。

2、布置作业：

（1）思考题：tanxy如何用有向线段表示？

x（2）你能借助单位圆中的三角函数线，讨论一下诱导公式等三角函数的其他性质吗？