复习参考题优秀教学设计

三角恒等变换简单应用

【知识梳理】

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

sin(α±β)＝

，

cos(α±β)＝

，tan(α±β)＝

.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α＝

，cos2α＝

＝

＝

，tan2α＝

.

3．有关公式的逆用、变形

(1)tanα±tan β＝

；

(2) sinαcosα=

，cos2α＝

，sin2α＝

；

(3)1＋sin 2α＝(

)2，1－sin2α＝(

)2，

sin α±cosα＝

. 4．辅助角公式

baasin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中sin φ＝22，cos φ＝22. a＋ba＋b【本节课内容】

1．化简：

常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切化弦，异名化同名，异角化同角；③

三角公式的逆用等。

化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；

③

使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．

2．求值

三种类型：给角求值，给值求值，给值求角．

3．简单三角函数问题

【小试牛刀】

1．下列各式中，值为3的是(

) 2A．2sin15°cos15°

B．cos215°-sin215°

C．2sin215°-1

D．sin215°+ cos215°

α32．若sin＝，则cosα＝(

) 232112A．－

B．－

C.

D.3333[来源学科网Z.X.X.K]

【例题讲解】

例题1

化简下列各式：

(1)

sin7°﹢cos15°sin8°13－

(2)

sin10°cos10°

cos7°﹣sin15°sin8°

练习1

化简下列各式：

(1) tan70°cos10°(3tan20°－1)

(2)

小结：三角函数式化简的原则

三角函数式的简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看结构与特征．

用转化与化归思想“去异求同”的过程，具体分析如下：

(1)首先观察角与角之间的关系，用已知角表示未知角，角的变换是三角恒等变换的核心；

(2)其次是看三角函数名称之间的关系，通常是常值代换或者切化弦；

(3)再就是观察代数式的结构特点，合理的选择三角函数公式，化繁为简.

πα12例题2

已知0﹤α﹤﹤β﹤π，tan﹦，cos(β—α)﹦，求β的值．

22210

π317π7πsin2x+2sin2x练习2

已知cos(+x)

﹦，﹤x﹤，求的值．

451241—tanx

2cos 10°－sin 20°

sin 70°

小结：三角函数求值的两种类型

(1)给值求角：这类问题就必须先要求出某个三角函数值，值得注意的是，角的范围判断．

(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用．

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．

其实还有一种给角求值的问题，正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，比如求cos15°，这里不再赘述．

例题3 已知函数y﹦(sinx＋cosx)2＋2cos2x．

(1)求它的递减区间；

(2)求它的最大值和最小值．

练习3

已知函数f(x)﹦cos4x—2sinxcosx—sin4x．

(1)求f(x)的最小正周期；

π

(2)当x∈[0, ]时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合．

2

π0，. 例题4

设向量a＝(3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈2

(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．

πω＞0，＜φ＜π的练习4 已知向量a＝(sin ωx，cos ωx)，b＝(cos φ，sin φ)，函数f(x)＝a·b3π3最小正周期为2π，其图象经过点M，．

62(1)求函数f(x)的解析式；

π3120，，且f(α)＝，f(β)＝，求f(2α－β)的值．

(2)已知α，β∈2513

小结：三角恒等变换综合应用问题的常见类型及解题策略

(1)与三角函数的图象与性质相结合的综合问题：借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决．

(2)与向量相结合的综合问题：此类问题通常是先利用向量的运算转化为三角函数问题，然后再利用三角恒等变换转化为三角函数的图象与性质等问题解决．

【课后巩固】

1．4cos 50°－tan 40°＝(

) A.2

B.2＋3

C.3

D．22－1 22．化简sin6°cos24°sin78°cos48°=

．

13．函数y=的最大值是

．

2+sinx+cosxπ43π4．已知sin(α＋)＋sinα﹦—，—﹤α﹤0，求cosα的值．

352

π35π12π5ππ5．已知cos(—α) ﹦，sin(﹢β) ﹦—，α∈(,)，β∈(0, )，求sin(α+β)的值．

45413444

π2x＋＋6sin xcos x－2cos2x＋1，x∈R. 6．已知函数f(x)＝－2sin4(1)求f(x)的最小正周期；

π0，上的最大值和最小值．

(2)求f(x)在区间2