复习参考题第二课时 公开课

解决平面向量数量积的两种策略

——走进天津高考中的数量积问题

课题：解决平面向量数量积的两种策略——基底法与坐标法 一、教学背景和学生学情分析

数学教学突出“四基”，即通过数学教学达到以下要求：掌握数学基础知识；训练数学基本技能；领悟数学基本思想；积累数学基本活动经验。学生在已有知识的情况下再次进行小结学习，会对向量这一节有更深层次的了解。教学中对各类重点题型的考察完善对于培养学生解题有更大的帮助。

二、核心素养下的教学目标：

1、直观想象和数学建模的培养; (1)

理解平面向量基本定理并熟记向量的坐标运算。

(2)

进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，体验数学思想方法的发现和运用带来解题的便利，体会数学的实用价值和魅力。

2、数学抽象和逻辑推理能力的培养

（1）常见的平面向量的题型总结，基底与坐标法的应用。

（2）解题过程中等价化归思想的应用。从几何问题转为代数问题的思维转变，由未知化归到已知，从每一个已知条件进行推理。

3、数学运算能力和学生自主探究学习总结能力的培养

（1）能有效运用运算方法解决实际问题，能通过运算促进数学思维发展。

（2）学生能够发现问题和提出问题，能理解知识之间的联系，建构知识框架。

三、教学方法与教学手段：

本节课以“四步法”的教学模式，通过小测回顾，精讲点拨，变式探究，反思提高，四个环节，提高复习课的教学质量。以学生为中心展开教学，利用多媒体、手机和投影仪同屏处理，提高教学效率。通过合作交流、动手操作、自主探究的学习方法，使学生在一系列活动中感知向量方法解决问题，让学生快乐学习、高效学习。

四、教学重点和难点

1、掌握平面向量的知识点和公式，会用基底做线性表出，会合理建系。

2、根据平面向量的知识解决数量积的问题，用基底法注意基底的选择；坐标法注意点的坐标。

五、教学资源与工具设计界：多媒体课件，手机电脑同屏

六、教学过程：

（一）课前小测：知识铺垫

一、课前小测

1.如图，在ABC中，点D为BC的中点，点E在BC上且BC=3EC，

B A E D C （1）若ABa,ACb，则BC_______;AD______;AE_____(用a,b表示)

（2）若AB2，AC3，BAC60，则ADBC_______.

→→2.已知A(1，1)，B(3，－1)，C(a，b)，若AC＝2AB，则点C的坐标______;ABAC_______.

设计意图：学生在课下已分组对平面向量做了总结，对相应概念、知识点、公式做了复习与熟记。小测问题的设置是让学生熟悉模型以及基础知识，并使用模型和基础知识解决数量积的问题，从而引入解决数量积问题的两种策略——基底法与坐标法。学生一一回答，一一补充

。

（二）探究高考题：

例1.（2016·天津7）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连→→接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为(

) 51111A．－

B.

C.

D.

8848练习：（2017·天津13）在△ABC中，∠A60，AB3，AC2.若BD2DC，AEACAB(R)，且ADAE4，则的值为

.

设计意图：以高考真题为例，首先引起学生的高度重视，其次师生共同探究，通过例1，学生发现问题，解决问题，并尝试用两种不同的方法解决问题，展示学生的两种方法——基底法、坐标法。同时及时进行变式练习，对两种方法加强巩固。

评注：①一般的常选两个模长与夹角已知（或易求）的向量作为基向量，从而将其他“未知向量”转化为这两个“已知向量”，从而实现化繁为简，化零乱为有序。这种基底意识充分体现了转化与化归的数学思想；

②巧妙建立平面直角坐标系，让向量运算转化为坐标运算，即代数的运算。任她图形“千姿百态”，统统以“数”相对。实现以形思数、以数解形。这种坐标意识，体现了转化与化归的数学思想。

（三）知识升华：

例2.

（2015·天津14）在等腰梯形ABCD中, 已知AB//DC,AB2,BC1,AB2DC, ABC60,动点E和F分别在线段BC和DC上,且BEBC,DF最小值为

. 1DC, 则AEAF的9

设计意图：提高题目的难度，利用已掌握的方法继续探究，借助参量来求得数量积的最值问题。学会恰当的选择适合自己的、适合题目的解题方法，并在做题中归纳总结方法。

评注：数量积的范围（最值）问题，可通过借助或引入变量，将其转化为函数的（值域）最值问题。这种方法体现了转化与化归和函数与方程的数学思想。

（四）巩固练习：

练习：（2018·天津8）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AEBE的最小值为(

) 21325

B.

C.

D．3

A.

16216

设计意图：通过练习题加以巩固，学会恰当的选择适合自己的、适合题目的解题方法。学会将数量积的最值问题转化为函数问题。

（五）学生总结：他们说出此节课学到了什么：基底法与坐标法。

设计意图：学生回忆自己的所得所获，有利于学生的知识建构。

（六）板书设计：

解决平面向量数量积的两种策略

——走进天津高考中的数量积问题

策略一：基底法

1.

知长度

基底的选择

2.

知夹角

3.

同起点

策略二：坐标法

建立模型

恰当建系

标点、向量坐标

解决问题

例1.

法一：基底法

法二：坐标法

例2.