2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学目标

“潜能课堂”教学设计

专题:平面向量基本定理应用举例

班级:高2020届4班 设计人：肖伯成 课型：复习课 日期：2017年12月18日

教学要点：

1．了解平面向量基本定理的条件和结论

2．掌握平面向量基本定理在解题中的应用

3.深刻理解数与形在平面向量学习中的重要地位和作用

重点难点: 教学重点:平面向量基本定理在解题中的应用

教学难点:

灵活运用平面向量基本定理解决的有关问题。定理在解题中的应用

激发学生潜能及发展能力的途径：

自主求解——合作探究——拓展提升----潜能训练

教基础目标

1.了解平面向量基本定理的条件和结论

学2．掌握平面向量基本定理在解题中的应用

目发展目标

通过教学使学生养成探究、分析的问题习惯,树立转化与化归.数形结合的思标

想方法.挖掘学生灵活运用所学知识解决问题的潜能。

学生学

教师导

学生思考与回顾：

导入新课

复习提问一：

教

一．平面向量基本定理

e、e学

条件

12是同一平面内的两个不共线向量．

结论

这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

活

基底

不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

动

二．几个常用的结论

1个规律——向量加法规律: 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2＋A＋2A3A＋…＋3A4An1An＝A1An.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．

2个结论——向量的中线公式及三角形的重心

(1)向量的中线公式

若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP＝12(OA＋OB) (2)三角形的重心

已知平面内不共线的三点A、B、C，PG＝13(PA＋PB＋PC)⇔G是△ABC的重

心，特别地，PA＋PB＋PC＝0⇔P为△ABC的重心．

3个等价转化——与三点共线有关的等价转化

A，P，B三点共线⇔AP＝λAB

(λ≠0)⇔

OP＝(1－t)·OA＋tOB

(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔

OP＝xOA＋yOB

(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．

4个注意点——向量线性运算应注意的问题

(1)用平行四边形法则进行向量加法和减法运算时，需将向量平移至共起点；

(2)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；

(3)在向量共线的重要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；

(4)要注意向量共线与三点共线的区别与联系. 题型一：三点共线

活动：1.先学生自主思考

2.学生交流讨论后

例1.

已知G3.学生主动回答

令uABuurra,uACu为△urABC的重心，rb过点G的直解析：连接AG并延长交BC于点E，如图所示，

线分别交且uAPuurAB，AC于P，Q两点，mar,uAQuurnbr,则11m＋n＝________.

因为G，P，Q三点共线，所以13m＋13n＝1，

活动：1.先学生自主思考

变式训练：

2.学生交流讨论后

.如图所示，已知点G是△ABC3.学生主动回答

的重心，过点G作直线与AB，

AC两边分别交于解析：选B

利用三角形的性质，uAMuurxABuuur,uMANu，urN两点，yACuuur过重心作平行于底边BC的直线，且xy易得x＝y＝2xy1则3，则x＋y＝3.

x＋y的值为(

) A．3

B.113

C．2

D.21．若

类型2.以形定数

活动：1.先学生自主思考

例2．在△ABC中，点D在线2.学生交流讨论后

段BC的延长线上，且3.学生主动回答

uuBCur3CDuuur点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若1

uuuAOrxuuABur1xuuuACr则x的取值范围是(

) A0，112

B.0，3

C.－1，0

D.－1，0

23

变式训练：

在△ABC中，点的延长线上，且uuDBCur在线段3CDuuBCur点O在线段CD上(与点C，D不重合uuuAOr)，若xuuABur1xuuuACr

则x的取值范围x21__________类型3.平面向量的基本定理

类型3. 设定特殊位置

例3:在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.

12λ＋μ＝1，于是得λ＋12μ＝1，

λ＝2即3，故λ＋μ＝4μ＝23.

3，

c＝b＋122a，32d－c，解得

d＝a＋12b，

a＝b＝232c－d.

即＝23(2d－c)＝43d－23c，

＝23(2c－d)＝423c－3d.

思维升华

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通(3)平面向量基本定理唯一性的应用

(3)设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若xx1＝x2，1a＋y1b＝x2a＋y2b，则y＝y

12.过向量的运算来解决．

(4)重要结论

设e1，e2是平面内一组基底，

2

题型四:综合应用

潜能训练：

如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：AP∶PM＝4∶1. 所以λ112b＋2c－μ23c－b＝b，

即12λ＋μb＋12λ－23μc＝b.

1λ＋μ＝又因为b与c不共线，所以21，1

2λ－23μ＝0.λ＝4解得5，即AP∶PM＝4∶1. μ＝35.

拓展提升

uuuruuruuuruuur在平行四边形ABCD中，E，G分别是BC，DC上的点且BC3BE，CD3CG,.DE与BG交于点O.

（1）求OE:DE；

（2）若平行四边形ABCD的面积为21，求BOC的面积. 【解析】（1）设AB=a,AD=b，据题意可得OE=λDE(λR)DE=a-2∈3b，从而有OE=λ(a-23b)=λa-2λ3b.由B,O,G三点共线，则存在实数m,使得EO=mEB+(1-m)EG，即

OE=-[mEB+(1-m)EG]=m1213b+(m-1)(3b-3a)1m=1-m3a+3m-23b，由平面向量基本定理，31解得λ=，从而就有23m2733OEDE=17；

（2）由（1）可知hΔBOC1S111213h=,所以BOCSBOCSBDC.

ΔBDC7SBDC77722课堂小结

规律总结：

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

作业(见作业单) 教1.本课设计目的明确、层次分明、难度适中。

学2..教学实施较完整,师生活动充分.. 评3.教与学时间分配恰当. 价

4.基本达到预期目标.. 板第一课时

书一.引入问题: 应用示例 例2拓展提升 潜能训练

设二.结论 例1 例3 拓展提升

计

例1变式 例3探究1 作业 例2 例 3探究2 小结

教亮点:本节从应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形学法则进行向量的加、减或数乘运算．通过例题层层递进的揭示数形结合思想在解决数学问反题上的重要作用。通个自主探究，合作探究，拓展提升,潜能训练，循序渐进激发学生学习思

潜能。

不足:设计的内容上偏难,教学实施有的地方显得不充分亮

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