复习参考题教学创新设计

三角函数的最值

-------利用一题多变学习一类三角函数最值问题

赵云茹

教学设计：三角函数的图象和性质、三角函数式和恒等变形及最值问题一直是高考考查的重 点内容之一，几乎年年都考，而且试题难度控制在“易”到“中等”程度。其中用降幂公式、

诱导公式、三角恒等式转化为辅肋角公式而后化简为yAsin(x)后求最值的问题是考得比较频繁的一类问题。在学习三角函数时利用一题多变来练习变式技巧，对巩固基础知识、提高思维的灵活性、体验数学思想方法，

是一个省时省力的好方法。

教学目的：会求能够转化为辅助角公式类型的三角函数的最值。

进一步体会化归思想、数形结合思想。

体会思维的灵活性和严密性。

教学重点：通过降幂、诱导公式、三角恒等式转化为辅肋角公式来求最值。

教学重点：对转化的过程、途径严密性的把握。

教学过程

教学中从直观的新旧知识矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念．

一、复习：

1、诱导公式、降幂公式

2、回顾：求f(x)3sinxcosx的最大值. 此题只需用辅肋角公式变形为f(x)2sin(x)就可以求出最大值为2，是6一个很基础的题。先在此基础上给x加一个范围,变为: 二、新课：

探究1：求f(x)3sinxcosx,x[,]的最大值. 66在变形为f(x)2sin(x)后，就要根据角的范围数形结合求最大值了。

6解析：∵x[,] ∴x[0,] 6663∴f(x)的最大值为233. 2在探究1的基础上把次数增高,变为: 探究2：求f(x)3sin2x2cos2x,x[,]的最大值. 66 这样就得先用降幂公式再用辅肋角公式了。

1cos2x解析：f(x)3sin2x23sin2xcos2x1=2sin(2x)1

26∵x[,] ∴2x[,] 66662

∴f(x)的最大值为2113. 在探究2的基础上给sin2x前加上一个负号,变为: 探究3：若f(x)3sin2x2cos2x,x[,]，求此函数的最值。

66此时应提出负号后再用降幂公式和辅肋角公式化为f(x)Asin(x)，或者直接化为f(x)Acos(x)。对正、余弦两角和差公式结构掌握不牢固的学生对这样的题容易出错。

1cos2x3sin2x(3sin2xcos2x)12sin(2x)1

解1：f(x)226∵x[,] ∴2x[,] 66626∴f(x)的最大值为2(1)13. 解2：f(x)2∵x[1cos2x3sin2xcos2x3sin2x1=2cos(2x)1

26,] ∴2x[,]

66662∴f(x)的最大值为2113. 在探究3的基础上加一个参数,变为: 探究4：f(x)2cos2x3sin2xa（a为实常数）在区间[0,]上的最小值为2－4，那么a的值等于

（ ）

A.4

B.6

C.4

D.3

解析：f(x)2cos2x3sin2xacos2x3sin2xa1=2cos(2x)a1

67∵x[0,]，∴2x[,] 2666∴f(x)的最小值为2(1)a1a.∴a4

选（C）

三、变式训练：

1、（10上海）.函数f(x)= 3sinxsinx的最大值是 2（利用诱导公式转化辅助角公式）

2、（11上海）、求函数y2cos(x)cos(x)3sin2x的值域和最小正周期。

44解：y2cos(x)cos(x)3sin2x

44cos2x3sin2x

2sin(2x)

6函数y2cos(x)cos(x)3sin2x的值域是[2,2]，最小正周期是。

44把这些基本题型串完后，就可以练习一些基本题，进行巩固和深化了。

四、巩固深化：

1、（13天津理）已知函数f(x)2cosx(sinxcosx)1，xR．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

π3π（Ⅱ）求函数f(x)在区间，上的最小值和最大值．

84本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数yAsin(x)的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．

π（Ⅰ）解：f(x)2cosx(sinxcosx)1sin2xcos2x2sin2x．

4因此，函数f(x)的最小正周期为π．

（Ⅱ）解：因为f(x)ππ3π

∵2sin2xx，

∴4842x4[0,523ππ]

∴sin1

∴42243ππ12sin2

24π3π故函数f(x)在区间，上的最大值为2，最小值为1．

84πππ2、（16湖北文）已知函数f(x)2sin2x3cos2x，x，．

442（I）求f(x)的最大值和最小值；

ππ（II）若不等式f(x)m2在x，上恒成立，求实数m的取值范围．

42本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．

π解：（Ⅰ）∵f(x)1cos2x3cos2x1sin2x3cos2x

2ππ2ππππ，

12sin2x．

又∵x，，∴≤2x≤633342π即2≤12sin2x≤3， ∴f(x)max3，f(x)min2．

3ππ（Ⅱ）∵f(x)m2f(x)2mf(x)2，x，，

42∴mf(x)max2且mf(x)min2，

∴1m4，即m的取值范围是(1，4)．

五、课堂小节：1. 结合前面的问题，你能总结一下求解三角函数最值问题的常规策略么？

2、处理三角函数问题时在细节上需要注意什么？

3、本节课主要用了数形结合的思想。

六、板书设计：

三角函数的最值

一、

公式的复习

四、课堂小结

二、

典型例题讲解

五、课后作业

三、

巩固练习

七、课后反思：

对于教学过程，求三角函数的最值的方法和一般步骤，必须让学生在课堂上就能掌握．对于难点：求最值问题的优化方法及相关问题，层层递进逐步提出，让学生带着问题走进课堂，师生共同探究解决，知识的建构过程充分调动了学生的主观能力性．提高了课堂教学效率．对于教学法，充分地调动了学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习，本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中．思维的灵活性得到了深刻的体验。这节课达到了预设目的。