复习参考题教学设计案例

概

率

复

习

题

考点一：随机事件的频率与概率

1、(2016·课标Ⅰ，3)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是

1125(

)

A. 3

B. 2

C. 3

D. 6

2．(2016·课标Ⅲ，5)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够8111成功开机的概率是(

)

A. 15

B. 8

C. 15

D. 30

3．(2016·北京，6)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(

) 1289A. 5

B. 5

C. 25

D. 25

4．(2015·课标Ⅰ，4)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的3111概率为(

)

A. 10

B. 5

C. 10

D. 20

5．(2012·湖北，2)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：

分组

频数

[10，20)

2

[20，30)

3

[30，40)

4

[40，50)

5

[50，60)

4

[60，70) 2 则样本数据落在区间[10，40)的频率为(

) A．0.35

B．0.45

C．0.55

D．0.65 6、(2015·北京，17，13分)某超市随机选取1 000名顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．

商品

顾客人数

100

217

200

300

85

98

甲

√

×

√

√

√

×

乙

×

√

√

×

×

√

丙

√

×

√

√

×

×

丁

√

√

×

×

×

×

(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；

(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；

(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？

7、(2014·陕西，19，12分)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

赔付金额(元)

车辆数(辆)

0

500

1 000

130

2 000

100

3 000

150

4 000 120 (1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；

(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．

8．(2016·课标Ⅱ，18，12分，中)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数

保费

0

0.85a 1

a 2

1.25a 3

1.5a 4

1.75a ≥5

2a

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

出险次数

频数

0

60

1

50

2

30

3

30

4

20

≥5

10 (1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；

(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；

(3)求续保人本年度的平均保费的估计值．

考点二：古典概型

1．(2015·

广东，7)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为(

)

A．0.4

B．0.6

C．0.8

D．1 2、(2016·四川，13)从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．

3、(2014·课标Ⅰ，13，中)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．

4、(2014·课标Ⅱ，13，中)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．

5、(2015·山东，16，12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)

参加演讲社团

未参加演讲社团

参加书法社团

8

2

未参加书法社团

5 30 (1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．

6、.(2014·山东，16，12分)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测. 地区

数量

A 50

B 150

C

100 (1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；

(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．

考点三：互斥事件与对立事件的概率

1、(2013·安徽，5)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(

) 2239A.

3

B. 5

C. 5

D. 10

2、(2015·河南安阳二模，5)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为(

) A．0.7

B．0.65

C．0.35

D．0.5 3、(2015·湖南益阳一模，4)4张卡上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为(

) 1123A. 2

B. 3

C. 3

D. 4

4、(2015·湖北黄石二模，18，12分)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：

(1)P(A)，P(B)，P(C)；

(2)1张奖券的中奖概率；

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．

考点4：几何概型

1．(2016·课标Ⅱ，8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(

)

7533A. 10

B. 8

C. 8

D. 10

2、(2015·福建，8)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的x＋1，x≥0，坐标为(1，0)，且点C与点D在函数f(x)＝1的图象－x＋1，x<02上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(

) 1131A.

6

B. 4

C. 8

D. 2

3．(2014·湖南，5)在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为(

) 4321A . 5

B. 5

C. 5

D. 5

4．(2014·辽宁，6，易)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(

)

ππππA.

.2

B. 4

C. 6

D. 8

5．(2014·福建，13)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．

6．(2014·重庆，15)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)

7．(2016·福建厦门调研)有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为________．

概

率

复

习

题

1．C

[考向2]从红、黄、白、紫4种花中任取2种有6种取法，分别为红与黄，红与白，红与紫，黄与白，黄与紫，白与紫，其中红与紫不在同一花坛有4种情况，故红色42与紫色不在同一花坛的概率P＝6＝3. 2．C

[考向2]由题意可知，

1共15种可能性，而只有1种是正确的．∴输入一次密码能够成功开机的概率为15.

3．B

[考向2]从甲、乙等5名同学中随机选出2人，有10种不同结果，而甲被选中

42有4种结果，故P＝10＝5，故选B.

4．C

[考向2]从1，2，3，4，5中任取3个数，共有10种选法，而为勾股数的只有3，14，5，故所求概率为10.选C. 5．B

[考向1]数据落在[10，40)的频率为2＋3＋4920＝20＝0.45，故选B. 6.【解析】

(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和200丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为1 000＝0.2. (2)从统计表中可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、100＋200乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1 000＝0.3. (3)与(1)同理，可得：

200顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为1 000＝0.2，

100＋200＋300＝0.6，

1 000100顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1 000＝0.1，

顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．

7.解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频150120率估计概率得P(A)＝1 000＝0.15，

P(B)＝1 000＝0.12. 由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所

以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27. (2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有120×20%＝24(辆)．

24所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为100＝0.24，

由频率估计概率得P(C)＝0.24 8．解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50＝0.55，故P(A)的估计值为0.55. 200(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数30＋30大于1且小于4的频率为200＝0.3，故P(B)的估计值为0.3. (3)由所给数据得

保费

频率

0.85a 0.30

a 0.25

1.25a 0.15

1.5a 0.15

1.75a 0.10

2a

0.05 调查的200名续保人的平均保费为

0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a. 考点二

1．B

[考向2]首先对5件产品编号为1，2，3，4，5.其中1，2两件为次品，3，4，5为正品，从5件产品中任取2件产品，所有事件为：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个事件．

其中恰有一件为次品的事件为：(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，共663个事件．∴恰有一件次品的概率为P＝10＝5＝0.6，选B.

2．【解析】

由题意得，a，b有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，8)，(3，9)，(8，9)，(3，2)，(8，2)，(9，2)，(8，3)，(9，3)，(9，8)，共12种取法．若满足logab为整数，则仅211有a＝2，b＝8和a＝3，b＝9两种情况，∴logab为整数的概率为12＝6.

【答案】

6

3、一行有A1A2B，A1BA2，A2A1B，A2BA1，BA1A2，BA2A1，共6种情况.2本数学书相邻422有A1A2B，A2A1B，BA1A2，BA2A1，共4种情况，所以P＝6＝3.【答案】

3

4．【解析】

甲、乙两名运动员从三种颜色的运动服中等可能地选择一种，所有可能

结果有红红、红白、红蓝、白红、白白、白蓝、蓝红、蓝白、蓝蓝，共9种，选择相同31颜色的结果共有3种，所以选择同种颜色的概率为P＝9＝3. 5【解析】

(1)记“该同学至少参加上述一个社团为事件A”，

则P(A)＝8＋2＋5145＝3. 1所以该同学至少参加上述一个社团的概率为3. (2)从5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A5，B1)，(A5，B2)，(A5，B3)共15个．

根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．

其中A1被选中且B1未被选中的基本事件有(A1，B2)，(A1，B3)共2个．

2所以A1被选中且B1未被选中的概率为P＝15. 61＝50，

50＋150＋100111所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×＝1，150×＝3，100×505050＝2.所以这6．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是6件样品来自A，B，C三个地区商品的数量分别为1，3，2. (2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2. 则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2)，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．

每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．

记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．

44所以P(D)＝15，即这2件商品来自相同地区的概率为15. 考点三

1、D

2．C

]“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，∴所求概率P＝1－P(A)＝0.35，故选C. 3．B

因为从4张卡片中任取出2张有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)共6种情况，其中2张卡片上数字和为偶数的有(1，3)，(2，4)这2种情况，所以2张

1卡片上的数字和为偶数的概率为3，故选B.

11015014解：(1)P(A)＝1 000，P(B)＝1 000＝100，P(C)＝1 000＝20. 111故事件A，B，C的概率分别为1 000，100，20. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”为事件M，则

M＝A∪B∪C.∵A，B，C两两互斥，

1＋10＋5061∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1 000＝1 000. 61故1张奖券的中奖概率为. 1 000(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，由对立事件概率公式得

19891＋P(N)＝1－P(A∪B)＝1－1 000100＝1 000. 989故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为1 000. 考点四

1．B

P＝40－15540＝8. 2．B

由题意可知，如图，则E(0，1)，C(1，2)，D(－2，2)，

3×121∴所求事件的概率为P＝3×＝24. 3．B

这是一个几何概型问题，测度是长度，此问题的总长度为5，使得“X≤1”的长度3为3，因此P(X≤1)＝5. 12×π×1S半圆2π4．B

设“质点落在以AB为直径的半圆内”为事件A，则P(A)＝＝＝. 1×24S长方形

S阴影S阴影1805．【解析】

由已知可知豆子落到阴影部分的概率为P＝1 000＝＝1，

S正方形6．【解析】

30≤x≤50，设小张和小王到校的时间分别为y和x，则30≤y≤50，

y－x≥5，

115×152×9则满足条件的区域如图中阴影部分所示．故所求概率P＝20×20＝32.

7．【解析】

∵到点O1的距离等于1的点构成一个半球面，到点O2的距离等于1的点构成一个半球面，两个半球面构成一个整球，如图所示，

∴点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为P＝4π3π－3球外的体积＝

圆柱的体积圆柱的体积－球的体积5＝π×3＝9. 圆柱的体积