复习参考题精品学案

3.1.3

概率的基本性质教学设计（第一课时）

一、教学分析

教科书通过掷骰子试验,定义了许多事件,及其事件之间的关系,事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念.

教科书通过类比频率的性质,利用频率与概率的关系得到了概率的几个基本性质,要注意这里的推导并不是严格的数学证明,仅仅是形式上的一种解释,因为频率稳定在概率附近仅仅是一种描述,没有给出严格的定义,严格的定义,要到大学里的概率统计课程中才能给出. 二、三维目标

（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念；通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养学生的类比与归纳的数学思想. （2）概率的几个基本性质：①必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1；②当事件A与B互斥时,满足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；③若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1-P(B). （3）正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系,通过数学活动,了解数学与实际生活的密切联系,感受数学知识应用于现实世界的具体情境,从而激发学习数学的情趣. 三、重点难点

教学重点：

概率的加法公式及其应用. 教学难点：

事件的关系与运算. 四、学习目标

1.正确理解事件的包含关系；并事件，交事件，相等事件；互斥事件，对立事件的概念。

2.正确理解概率的几个基本性质。(重点)

3.正确理解和事件与积事件，互斥事件与对立事件的区别和联系。(难点)

五、课时安排

1课时

六叫写过程

教学过程

导入新课

方案甲

思路1

体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格,某班50名学生参加了体育考试,结果如下：

优

良

中

不及格

85分及以上

75—84分

60—74分

60分以下

9人

15人

21人

5人

在同一次考试中,某一位同学能否既得优又得良？

从这个班任意抽取一位同学,那么这位同学的体育成绩为“优良”（优或良）的概率是多少？

为解决这个问题,我们学习概率的基本性质,教师板书课题. 思路2 （1）集合有相等、包含关系,如{1,3}={3,1},{2,4}{2,3,4,5}等；

（2）在教材P119掷骰子试验中,可以定义许多事件如：C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现1点或2点},C4={出现的点数为偶数}…….

师生共同讨论：观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能发现事件的关系与运算吗？这就是本堂课要讲的知识概率的基本性质. 思路3

全运会中某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛,她们夺取冠军的概率分别是2/7和1/5,则该省夺取该次冠军的概率是2/7+1/5,对吗？为什么？为解决这个问题,我们学习概率的基本性质. 推进新课

新知探究，提出问题

在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现3点},C4={出现4点},C5={出现5点},C6={出现6点},D1={出现的点数不大于1},D2={出现的点数大于3},D3={出现的点数小于5},E={出现的点数小于7},F={出现的点数大于6},G={出现的点数为偶数},H={出现的点数为奇数},……

类比集合与集合的关系、运算说明这些事件的关系和运算,并定义一些新的事件. (1)如果事件C1发生,则一定发生的事件有哪些？反之,成立吗？

(2)如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着哪个事件发生？

(3)如果事件D2与事件H同时发生,就意味着哪个事件发生？

(4)事件D3与事件F能同时发生吗？

(5)事件G与事件H能同时发生吗？它们两个事件有什么关系？

活动：学生思考或交流,教师提示点拨,事件与事件的关系要判断准确,教师及时评价学生的答案. 讨论结果：

(1)如果事件C1发生,则一定发生的事件有D1,E,D3,H,反之,如果事件D1,E,D3,H分别成立,能推出事件C1发生的只有D1. (2)如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着事件G发生. (3)如果事件D2与事件H同时发生,就意味着C5事件发生. (4)事件D3与事件F不能同时发生. (5)事件G与事件H不能同时发生,但必有一个发生. 由此我们得到事件A,B的关系和运算如下:

(一）事件的关系和运算

1包含关系

如果事件A发生,则事件B一定发生,这时我们说事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）,记为BA（或AB）,不可能事件记为,任何事件都包含不可能事件. 2 相等关系

如果事件A发生,则事件B一定发生,反之也成立,（若BA同时AB）,我们说这两个事件相等,即A=B.如C1=D1. 3 并事件

如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与B的并事件（或和事件）,记为A∪B或A+B.

4 交事件

如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与B的交事件（或积事件）,记为A∩B或AB. 5 互斥事件

如果A∩B为不可能事件（A∩B=）,那么称事件A与事件B互斥,即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生. 6 对立事件

如果A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生. 下面我们看预习自测

一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件A：命中环数大于7环；

事件B：命中环数为10环；

事件C：命中环数小于6环；

事件D：命中环数为6、7、8、9、10环. 活动：教师指导学生,要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是指不可能同时发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两个事件中一个不发生,另一个必发生.

解：A与C互斥（不可能同时发生）,B与C互斥,C与D互斥,C与D是对立事件（至少一个发生）. 点评：1.判断互斥事件和对立事件,要紧扣定义,搞清互斥事件和对立事件的关系,互斥事件是对立事件的前提。

2.从集合角度理解

互斥事件与对立事件

（1）如果两个事件A和B不可能同时发生，则称A和B互斥．从集合的角度看，是指这两个事件所包含的结果组成的集合不相交，即A∩B＝∅.易知，必然事件与不可能事件是互斥的，任何两个基本事件都是互斥的．如果A1，A2，…，An中的任何两个都是互斥事件，那么我们说，事件A1，A2，…，A

n

彼此互斥．从集合的角度看，n个事件彼此互斥，是指由各个事件所包含的结果组成的集合彼此各不相交．

(2)如果A与B是互斥事件，且在一次试验中A与B必有一个发生，则称它们为对立事件．从集合的角度看，由事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集，即满足条件A∩B＝∅且A∪B＝U，通常事件A的对立事件记作A. (3)对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件；A的对立事件只有一个，但A的互斥事件可以有多个．.

继续依次提出以下问题: （1）概率的取值范围是多少? （2）必然事件的概率是多少? （3）不可能事件的概率是多少? （4）互斥事件的概率应怎样计算? （5）对立事件的概率应怎样计算? 活动：学生根据试验的结果,结合自己对各种事件的理解,教师引导学生,根据概率的意义:（1）

由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以,频率在0—1之间,因而概率的取值范围也在0—1之间.（2）必然事件是在试验中一定要发生的事件,所以频率为1,因而概率是1. （3）不可能事件是在试验中一定不发生的事件,所以频率为0,因而概率是0. （4）当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和. （5）事件A与事件B互为对立事件,A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,则A∪B的频率为1,因而概率是1,由（4）可知事件B的概率是1与事件A发生的概率的差. 讨论结果：

（1）概率的取值范围是0—1之间,即0≤P(A)≤1.

（2）必然事件的概率是1.如在掷骰子试验中,E={出现的点数小于7},因此P(E)=1. （3）不可能事件的概率是0,如在掷骰子试验中,F={出现的点数大于6},因此P(F)=0. （4）当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和,即P(A∪B)=P(A)+P(B),这就是概率的加法公式.也称互斥事件的概率的加法公式. （5）事件A与事件B互为对立事件,A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,P(A∪B)=1.所以1=P(A)+P(B),P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).如在掷骰子试验中,事件G={出现的点数为偶数}与H={出现的点数为奇数}互为对立事件,因此P(G)=1-P(H).

（二）概率的基本性质

1.任何事件的概率P(A),

0≤P(A)≤1;(1)必然事件B一定发生，则P(B)=__1；____ （2）不可能事件C一定不发生，则P(C)=___0___; （3）随机事件A发生的概率范围为___[0,1]_____; （4）若

AB

, 则_P(A)P(B)_____ 预习自测：

.甲、乙两人下棋，和棋的概率为1/2，乙胜的概率为1/3 求（1）甲胜的概率；

(2)甲不输的概率

。

（三）题型探究

【题型一】判断互斥（对立）事件

例1从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件,观察正品件数与次品件数,判断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件. （1）恰好有1件次品恰好有2件次品；

（2）至少有1件次品和全是次品；

（3）至少有1件正品和至少有1件次品；

（4）至少有1件次品和全是正品.

解：依据互斥事件的定义,即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件,又因为它们并不是必然事件,所以它们不是对立事件.同理可以判断：（2）中的2个事件不是互斥事件,也不是对立事件.（3）中的2个事件既不是互斥事件也不是对立事件.（4）中的2个事件既互斥又对立

你能总结判断互斥事件和对立事件的关系方法吗？

解题归纳：判断互斥事件和对立事件的关系方法：

判断互斥事件和对立事件的关系主要用定义来判断，

当两个事件不能同时发生，这两个事件是互斥事件；

当两个事件不能同时发生，而且必有一个发生，这两个事件就是对立事件。

【题型二】事件的关系及运算

例2盒子里有质地相同的6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A={3个球中有1个红球、2个白球}，事件B={3个球中有2个红球、1个白球}，事件C={3个球中至少有1个白球}，事件D={3个球中既有红球又有白球}。

（1）事件D与A,B是什么运算关系？

（2）事件C与A的交事件是什么事件？

【题型三】概率加法公式的应用

例3

如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心（事件A）的概率是11,取到方块（事件B）的概率是,问：

44（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？

（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？

活动：学生先思考或交流,教师及时指导提示,事件C是事件A与事件B的并,且A与B互斥,因此可用互斥事件的概率和公式求解,事件C与事件D是对立事件,因此P(D)=1-P(C).

解：（1）因为C=A∪B,且A与B不会同时发生,所以事件A与事件B互斥,根据概率的加法公式得P(C)=P(A)+P(B)=1. 2（2）事件C与事件D互斥,且C∪D为必然事件,因此事件C与事件D是对立事件,P(D)=1-P(C)=1. 2点评：利用概率的加法公式,一定要注意使用条件,千万不可大意. 解题归纳：求概率的步骤：

第一步

读懂题意，

第二步

事件命名，

第三步

事件定性，

第四步

使用公式求概率

, 第五步

作答。

变式训练

某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28,计算该射手在一次射击中：

（1）射中10环或9环的概率；

（2）少于7环的概率.

解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和,即为0.21+0.23=0.44.（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和,即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件,所以射中少于7环的概率为1-0.97=0.03.

课堂小结

1.概率的基本性质是学习概率的基础.不可能事件一定不出现,因此其概率为0,必然事件一定

发生,因此其概率为1.当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的概率等于A发生的概率与B发生的概率的和,从而有公式P（A∪B）=P（A）+P（B）；对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生. 2.在利用概率的性质时,一定要注意互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生,而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形:①事件A发生B不发生；②事件B发生事件A不发生,对立事件是互斥事件的特殊情形. 课后拓展

1.活动单P4

2.《同步》P99

设计感想

本堂课通过掷骰子试验,定义了许多事件,并根据集合的运算定义了事件的运算,给出了互斥事件和对立事件以及它们的概率运算公式,在运用时要切实注意它们的使用条件,不可模棱两可,搞清互斥事件和对立事件的关系,思路1和思路2都安排了不同层次的例题和变式训练,对刚学的知识是一个巩固和加强,同学们要反复训练,安排的题目既有层次性,又有趣味性,适合不同基础的学生,因此本节课授完后,同学们肯定受益匪浅.

方案备用

例1

抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”,B为“出现偶数点”,已知P(A)= 11,P(B)=,求出“出现奇数点或偶数点”的概率？

22活动：学生思考或讨论,教师引导,抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的,并且是相互独立事件,可以运用概率的加法公式求解.

解：记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A∪B,因为A、B是互斥事件,所以P(C)=P(A)+P(B)=11+=1. 22出现奇数点或偶数点的概率为1. 变式训练

抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件A为出现奇数,事件B为出现2点,已知P（A）=11,P（B）=,求出现奇数点或2点的概率之和.

26112+=. 2631,3解：“出现奇数点”的概率是事件A,“出现2点”的概率是事件B,“出现奇数点或2点”的概率之和为P（C）=P（A）+P（B）=例2

袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为

得到黑球或黄球的概率是55,得到黄球或绿球的概率也是,试求得到黑球、得到黄球、得1212到绿球的概率各是多少？

活动：学生阅读题目,交流讨论,教师点拨,利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解.

解：从袋中任取一球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”为A、B、C、D,5512；P(C∪D)=P(C)+P(D)=；P(B∪C∪D)=1-P(A)=1=,121233111解得P(B)=,P(C)=,P(D)=. 464111即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是、、. 464则有P(B∪C)=P(B)+P(C)=变式训练

已知盒子中有散落的棋子15粒,其中6粒是黑子,9粒是白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是112,从中取出2粒都是白子的概率是,现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率735是多少？

解：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和,即为11217+. 73535知能训练

1.下列说法中正确的是（

）

A.事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大

B.事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发生的概率小

C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件

D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件

答案：D 2.课本练习1—5. 拓展提升

1.从男女学生共有36名的班级中,任意选出2名委员,任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于1,求男女生相差几名?

2x(x1). 3635解：设男生有x名,则女生有36-x名.选得2名委员都是男性的概率为选得2名委员都是女性的概率为(36x)(35x). 36351x(x1)(36x)(35x)1,得+=.3635363522以上两种选法是互斥的,又选得同性委员的概率等于解得x=15或x=21. 即男生有15名,女生有36-15=21名,或男生有21名,女生有36-21=15名. 总之,男女生相差6名. 2.黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：

血型

该血型的人所占比/% A 28 B 29 AB 8 O 35

已知同种血型的人可以输血,O型血可以输给任一种血型的人,任何人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,若小明因病需要输血,问：

(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少？

(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少？

解：（1）对任一人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A′,B′,C′,D′,它们是互斥的.由已知,有P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35.

因为B,O型血可以输给B型血的人,故“可以输给B型血的人”为事件B′+D′.根据互斥事件的加法公式,有P(B′+D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.

（2）由于A,AB型血不能输给B型血的人,故“不能输给B型血的人”为事件A′+C′,且P(A′+C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.

即任找一人,其血可以输给小明的概率为0.64,其血不能输给小明的概率为0.36. 注：第（2）问也可以这样解：因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件,故由对立事件的概率公式,有P(B'D')=1-P(B′+D′)=1-0.64=0.36.