小结ppt配套的教学设计方案

高2020届高一数学备课组

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专注学力课堂，提升核心素养

《微专题复习：用向量求长度和夹角》教学设计

四川省金堂中学校

王秋燕

教材分析

这是人教A版必修4第二章第4节的内容，本节课是专题复习用向量求长度和夹角，是对平面向量知识的一个综合应用。平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来。向量的数量积ab=abcos的结构特征中包含长度和角度元素，所以求长度和角度的问题注定与向量的数量积有关系。

学情分析

学生已学***面向量的坐标表示及运算和平面向量数量积概念及坐标表示，数量积是用长度和夹角来表示。采取以学生自主完成为主，教师引导为辅。学生对转化的思想有了一定的认识，也学会了向量的线性运算及坐标表示，也具备了数形结合的解题思想，对解决本节专题复习用向量求长度和夹角已具备了一定的方法基础和思想基础，这里采取类比的思想，用坐标法和向量法来灵活处理向量的夹角和长度。

教学目标

1、会用向量法和坐标法求向量的模长和夹角；

2、经历几何问题向量化，向量问题坐标化，掌握数形结合的解题思想；

3、通过探究，让学生体会快乐和成就感，提高学生学习数学的兴趣，增强应用意识。

教学重难点

教学重点：用向量求长度和夹角。

教学难点：转化意识的形成；向量模长和夹角的向量表示和坐标表示的灵活应用。

课型：复习课

课时：1课时

教学工具：电脑+投影

教学方法：学案导学

教学过程

一、复习回顾

a与b的夹角为，范围是已知

非零向量a(x1,y1),b(x2,y2)，向量线性运算的坐标表示如下：

a+b

数量积ab

平方aa

夹角余弦cos

模长a

垂直ab

平行a∥b

，ab向量表示

，a坐标表示

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长度推广：a+b=（a+b）=a+2ab+b2222222=（x1+x2）+（y1+y2）

222ab=（ab）=a2ab+b=（x1--x2）+（y1y2）

设计意图：师生共同复习前面所学向量知识，并形成思维导图，布置学生下来自行补充完善，然后学生自主复习，完成导学案的第一部分复习回顾，并展示，由学生来纠错。

师：我们是在同一起点下来研究向量的夹角，通过平移，将向量的起点移在一起看向量的夹角，我们做一个三角形就很直观。向量共线和向量垂直的坐标表示应该注意区分表达，强调差异，这是易错点。

生：完成学案，共同纠错。

二、例题演练

用向量求夹角，其中最特殊的位置关系就是平行和垂直，我们从特殊出发，到一般情况。体现特殊到一般，化难为易的化归思想。

类型一：特殊夹角—平行

【例1】已知向量a(m,4),b(3,2),且a∥b，则m=（向量反向、坐标法和向量法）

【变式】（2015全国理II）

设向量a,b不平行，向量a+b与a+2b平行，则实数=

（向量同向，向量法，平面向量基本定理）

知识点：

思想方法：

类型二：特殊夹角—垂直

),【例2】

已知向量a(-2,3b（垂直的坐标表示）

【变式】（2017全国文I）(3且,ma),，则b=m

已知向量a(-1,2),b(m,1),若向量a+b与a垂直，则m=

（向量加法的坐标运算和垂直的坐标表示）

知识点：

思想方法：

师：以小组为单位进行讨论，代表投影答案并发言。

生：小组讨论，一起纠错，规范表达。

类型三：平面几何角度

【例3】（2016全国理III）

已知向量BA(,1331),BC(,),则ABC(2222)

A.30B.45C.60D.120

（向量夹角余弦的坐标表示，平面中角的大小问题，几何问题向量化，向量问题坐标化）

【变式】（教材P119第10题改编）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,2),B(4,1),C(0,-1),求角B的大小.

（三角形角的大小问题，可以看成两个共起点的向量夹角问题）

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知识点：

思想方法：

学生以小组为单位讨论完成，并投影展示，共同纠错。教师板书。

师：这是求平面几何的角的大小问题，可以通过转化为向量的夹角问题，求出夹角的余弦值，结合向量夹角的范围，反解出夹角的大小。这里就会用到几何问题向量化，而处理向量夹角的余弦值问题可以有坐标法和向量法，这里选择坐标法，也就是向量问题坐标化。

设计意图：通过例3的解决，其实提供了我们处理平面几何的角度大小问题，就可以转化为两个向量的夹角问题，进而利用坐标法或者向量法求出，进而体会向量是沟通代数和几何的工具，它具有形和数的双重性质，以后要形成处理夹角问题时要考虑到向量这一有力工具。

类型四：平面向量长度

【例4】

已知向量a(2,0),b(2,1),tR,求a+tb的最小值及相应的t值.

（向量模长的坐标表示与二次函数的最值问题，转化定轴定区间问题，推广和类比）

【变式】（2017全国理I）

已知向量a，的夹角为b60，a2,b1,则a+2b=

（向量模长的推广公式，推广和类比的思想）

知识点：

思想方法：

学生以小组为单位讨论完成，并投影展示，共同纠错。

设计意图：向量的数量积既可以解决角度问题，这里也可以解决长度问题，非常有用。

师：向量长度问题还可以转化为二次函数的问题，几何问题转化为代数问题，几何问题代数化，为以后用几何方法解决代数问题指引了方向，几何问题代数化，也体现了转化和化归的思想，先表示再研究，同时还考察了长度公式的推广，加深了学生的推广意识。

五、课堂小结

这节课你收获了什么数学知识和数学思想方法？

1、求长度和夹角的两种方法：向量表示法和坐标表示法

2、转化思想（几何问题向量化，向量问题坐标化）、方程思想，数形结合思想

学生自主思考，学生总结。

思考题（教材P119第1（5）题改编）若向量e1,e2是夹角为的单位向量,a=2e1+e2，求a. 3（向量的基底表示，用向量法求向量的模长，向量的数量积）

六、作业分层布置

（基础组：教材复习参考题

提高组：导学案的课后作业）

1、已知ab5,向量a与b的夹角为，求a+b，3ab.

3

2、已知向量a(1,0),b(1,1),若向量a+b与a垂直，则实数=

3、已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1),B(4,1),C(4,5),求角B的大小.第

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4、已知向量a、b满足a2,b1,且对一切实数x,axbab恒成立，则a与b的夹角的大小是

。

七、板书设计

标题：专题复习：用向量求长度和夹角

学习目标

例题演示

例3

八、教学反思

结合本节是复习课，加上高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用

“教师为主导，学生为主体，训练为主线”的原则，自学，互学，展学，导学，练学，为此，我通过精心设置的一个个例题和变式，高考题的战胜会让学生更加有效能感，激发学生的学习兴趣，提高学生的快乐感和成就感，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生独立思考的空间，鼓励学生自主探索解决问题。在教学中，我适时的对学生学习过程给予评价，适当的评价，可以培养学生的自信心，合作交流的意识，更进一步地激发了学生的学习兴趣，让他们体验成功的喜悦。学生相互纠错，完善规范书写，提高学生的书写能力。

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