2.1.3 相等向量与共线向量教学设计第一课时

2.1 相等向量与共线向量的基本概念（教学设计）

[教学目标]

一、知识与能力：

理解向量、零向量、单位向量、平行向量的概念：掌握向量的几何表示，会用字母表示向量；理解相等向量与共线向量的含义. 二、过程与方法：

通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景；渗透数形结合的数学思想方法. 三、情感、态度与价值观：

培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．

[教学重点] 向量的概念，向量的几何表示．

[教学难点]

向量的概念．

[教学要求] 向量概念的教学应从物理背景和几何背景入手，物理背景是力、速度、加速度等概念，几何背景是有向线段。了解这些物理背景和几何背景，对于学生理解向量和运用向量解决实际问题都是十分重要的。

[教学过程] 一、创设情境，新课引入

问题 1：我们已经知道位移是既有大小，又有方向的量。请再举出一些这样的量．

学生思考讨论，举出物理学中既有大小，又有方向的量，

例如力，包括重力G、浮力F、拉力F等。

在学生讨论的基础上，抽象概括出向量的概念：

数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量，称为数量（或标量）。

教师提问，学生回答，并再次强调向量的两要素。有学生总结判断方法。

课堂练习1：判定下列各量中哪些是向量：（1）浮力；（2）密度；（3）质量；（4）路程；（5）面积；（6）电流强度. 二、师生互动，新课讲解：

向量的表示

1．几何表示：用有向线段表示向量，以A为起点，B为终点的向量记作向量AB，注意起点在前，终点在后。

2．字母表示：印刷体可用黑体小写字母a,b,c3．图示表示：

1 表示向量，手写时写成带箭头的小写字母，如a。

4．向量的模

向量的长度称为向量的模，如向量AB的模记作|AB|，向量a的模记作|a|。

零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作0。

单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量。

思考：两个向量能否比较大小？两个向量的模能否比较大小？

5．平行向量（共线向量）

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。向量a,b平行，通常记作a//b。

规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0//a。

例1（课本P75例1）

试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A地至B,C两地的位移，并求出A地至B,C两地的实际距离（精确到1km）。

变式训练1：

（1）某人东行100米，后转南行1003米，则这时他位移的方向是__________.（东偏南60）

（2）某人向正东方向走3千米，再向正北方向走4千米，此人走过的路程是________，其位移的长度是___________.（7千米、5千米）

6．相等向量的概念

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

如图，有向线段表示的向量a与b相等，记作a=b. 任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定。

提出问题：怎样的向量是相等向量？教师演示，让学生归纳定义。

7．共线向量

如图，a,b,c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出OAa，OBb，OCc，

可见任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量。

例2：

2

（1）向量AB和向量BA，这两个向量相等吗？这两个向量的模相等吗？

（2）用有向线段表示两个相等的向量，如果它们的起点相同，那么它们的终点是否相同？

（3）如果ABDC，四边形ABCD一定是平行四边形吗？

变式训练2：

（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）

（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）

（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）

例3：判断下列说法是否正确，并说明理由：

（1）方向相同或相反的非零向量叫平行向量；（V）

（2）长度相等且方向相同的向量叫相等向量；(V) （3）向量的模是一个正实数；(x) （4）若|a|=|b|，则a=b或a=-b；(x) （5）零向量只有大小没有方向。(v) 变式训练3：下列各种情况中向量终点各构成什么图形？

（1）把所有单位向量起点平移到同一点；

（2）把平行于某一直线的所有单位向量的起点平移到同一起点；

（3）把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点. 解：（1）单位圆；

（2）两个点（相距两个单位长度）；

（3）构成一条直线.

例4（课本P76例2）

如图，设O是正六边形图中与OA,OB,OC相等的向量. 解：OACBDO；

OBDCEO；

OCABEDFO.

变式训练4：下列命题正确的是（ C ）

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c

B.

C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ

ABCDEF的中心，分别写出3

D.有相同起点的两个非零向量不平行

课堂练习2：课本P77 练习NO：1、2、3 三、课堂小结，巩固反思

1．

在不改变长度和方向的前提下，向量可以在空间自由移动；

2．

相等向量：长度（模）相等且方向相同的向量；

3．

共线向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量。

四、课时必记：

1、向量 2、零向量、单位向量概念：

3、平行向量： 4、相等向量：

5、共线向量与平行向量关系：

五、分层作业：

A组：

1、（课本P77习题2.1 A组 NO：1）（直接做在课本题目旁边）

2、（课本P77习题2.1 A组 NO：2）（直接做在课本题目旁边）

3、（课本P77习题2.1 A组 NO：3）（直接做在课本题目旁边）

4、（课本P77习题2.1 A组 NO：4）（直接做在课本题目旁边）

5、（课本P77习题2.1 A组 NO：5）（直接做在课本题目旁边）

6、（课本P77习题2.1 A组 NO：6）（直接做在课本题目旁边）

B组：

1、（课本P77习题2.1 B组 NO：2）

2．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；（

）

（

）

③任一向量与它的相反向量不相等；

）

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC； （

）

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；

）

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。 （

）. 解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上. ②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.

④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同. 3、下列关于零向量的说法中，错误的是（B）。

（A）零向量的长度为零 （B）零向量是没有方向的

（C）零向量的方向是任意的 （D）零向量与任一向量平行

4、

命题中，不正确的是（D）。

4

（A）向量AB的长度与向量BA的长度相等。

（B）任一非零向量都可以平行移动。

（C）两个相等的向量，若它们的起点相同，则其终点也相同。

（D）长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量。

5、如图中DE//BC，则下列结论正确的是（A）。

（A）CB和DE共线 （B）CB和BA共线 （C）BA和CA共线

（D）CB和CA共线

6、有下列命题中，正确的是（D）。

（A）

若|a||b|，则ab （B）若|a||b|，则ab

（C）若ab，则a与b就不是共线向量 （D）若ab，则a//b

C组：

1、

一质点从平面内一点O出发，向北前进a米后，右转20，再前进a，再右转20，按此方法继续前进，求前进多少次，该质点第一次回到O点. 解：（由平面几何知识易知，质点所经过的路线是一个边长为a的正18边形，所以前进18次后，该质点第一次回到O点）

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