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圆锥的体积练习

教学目标:

1.通过练习,进一步巩固圆锥体积计算的方法,提高学生的圆锥体积计算能力和解决问题的能力。

2.经历由平面图形旋转形成立体图形的探索过程,培养几何直观能力,发展空间观念。

3.感受底面积和高的变化引起圆锥体积变化的规律,初步培养学生的数学推理能力,感受数学的价值。

教学重点:结合操作活动,培养学生的几何直观能力。

教学难点:感受圆锥底面积和高的变化引起体积变化的规律,发展学生的数学推理能力。

教学过程:

一、复习引入

同学们,我们已经学习了圆锥的体积计算方法,那谁先来帮我们回忆下圆锥的体积推导及体积公式?

师:是的,我们用利用与圆锥等底等高的圆柱进行研究,发现圆锥的体积是与它1

等底等高圆柱体积的三分之一。(板书:

V=πr2h)

3

师:这节课,我们继续来研究圆锥体积的相关知识。

二、操作体验

1.出示题目。

一个直角边分别为3cm、4cm,斜边为5cm的直角三角形,如果以某一条直角边所在的直线为轴迅速旋转,扫过的空间是什么图形?

2.读题分析

师:我们一起来读一读题目,边读边思考从题中你知道了什么?

师:想一想,可能会出现几种情况?

师:你看,我们可以以长直角边所在直线为轴旋转,也可以以短直角边为轴旋转。3.动手操作

师:那先请你想象一下这两种情况所形成的图形,然后将你看到的或想象到的用草图的形式画出来。

4.学生作品反馈

师:好的,同学们我们先来看这位同学画的,我们请他来帮我们介绍下这两个个图形分别是以哪一条边为轴旋转成的。

5.动画演示

师:其实好多同学都想象出了圆锥,想象能力真是不错!如果刚才没想出来的也没有关系,请电脑为我们再演示一遍。

6.修改草图

师:你看以不同的边所在的直线为轴所旋转出的空间图形是不同的,如果你刚才没有画对,请你赶紧修改你的草图。

7.计算圆锥体积

师:那这两个圆锥的体积大小相等吗?请你选择一个圆锥进行体积计算。(请两

位同学进行板演）

小结：你看一个直角三角形以不同的直角边所在的直线为轴旋转出的圆锥大小是不一样的。

8.研究沿斜边旋转形成的图形。

师：其实，除了可以以直角边为轴旋转，在这里还可以哪一条边为旋转轴旋转？ 生：斜边

师：你能想象得到如果以斜边所在直线为轴旋转，所形成的图形是怎样的吗？请你现在想想看。

生想象

师：好，我们让电脑演示下，看看你所想象到的跟你演示的一样吗？ 师：这个立体图形的体积你会计算吗？可以怎样来计算？

师：其实，这个立体图形我们可以看成两个圆锥的叠加，两个圆锥的底面半径其实是斜边所对应的高，我们可以通过直角三角形的面积相等，求出底面半径r，上面圆锥的高和下面圆锥的高的和是5cm,那这个立体

11图形的体积和是πr2h上

+πr2h

下，根据乘法分配率得到体积等于33

125πr（h上+h下）

=πr2 33

8.平面图形通过旋转可以形成立体图形，那请你判断下列平面图形通过旋转可以形成什么立体图形。（P35页第二题）

9.教师小结。

师：刚才我们不但复习了圆锥体积的计算，我们还知道了一个平面图形通过旋转可以形成一个立体的图形，还了解了一些较复杂的立体图形的体积计算方法。下面我们继续来研究。

三、规律探索

1.出示图形

师：请你观察并估计，这4个图形中，哪几个图形的体积相等？为什么？ 预设1：图形1和图形2体积相等

师：请说说你的理由

生：从图上看，圆柱和圆锥的底面积相等，而圆锥的高是圆柱高的3倍，它们体积相等。

师：你是通过比较底面积相等时，比较圆柱与圆锥的高来确定两图形的体积的。 预设2：图形1和图形4体积相等

师：你是如何思考的

生：从图上看这两图形的高相等，圆锥底面积是圆柱的3倍，所以它们的体积相等。

师：你是通过比较高相等时，圆锥底面积是圆柱底面积3倍时，它们的体积相等的。

小结：看样子，圆柱与圆锥的体积比较主要看它们的底面积和高之间的关系呀。 （通过学生的回答明确估计时看圆柱与圆锥的底面积和高）

2.出示图形信息

师：现在给这些图形提供相关信息，请你根据这些信息填写下面这张表格。然后仔细观察你所填的表格数据，说说你发现了什么？填完后把你的发现先在小组里进行交流。

3.全班交流

4.探索规律

师：仔细观察表格，对图1、图2、图2进行两两比较，当体积相等时，圆柱与圆锥、圆锥与圆锥之间有什么关系呢？

生1：圆柱与圆锥的体积相等、高相等时，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍。 生2：圆柱与圆锥的体积相等、底面积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍。 生3：圆锥2与圆锥4体积相等时，圆锥2的高是圆锥4高的3倍，而圆锥2底

1面积是圆锥4底面积的。 3

师：通过比较我们发现，有时候我们不需要计算圆锥与圆锥的体积，通过比较他们的底面积和高就能知道它们之间的关系了。

5.思维拓展

那如果我们要画出与图3体积相等的圆柱，我们可以怎么画？

生：如果底面积相等，高是圆锥的三分之一。如果高相等，底面积就是圆锥的三分之一。

小结：你看，只要我们掌握了它们的规律，那么有些问题解决起来就会简单很多。接下去我们马上进行学以致用。

6.错题纠正

（1）一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等。已知圆柱的高是6dm，圆锥的高是多少？

（2）一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥的底面积是28.26cm2，圆柱的底面积是多少？

四、综合应用

现有一根圆柱形木材，王师傅想把这根木材切割成最大圆锥，请你选择合适的信息求出圆锥的体积。

1.圆柱的半径是3dm

2.圆柱的高是6dm

3.圆柱的底面积是28.26dm2

4.削去部分的体积是113.04dm3

师：你有几种方法解决这题，请你把你的想法写下来。

五、全课总结

这节课我们对圆锥的体积进行了练习，回顾了圆锥体积计算的推导，探究了圆锥体积的相关知识。其实，只要平时我们留心观察，学会比较，我们一定会有更多 地收获。