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《二次根式》章节复习

【知识回顾】

1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：

a（a＞0）

（a=0）；

（1）（a）2=a

（a≥0）； （2）a2a

0

a（a＜0）5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

ab=a·b（a≥0，b≥0）；

bb（b≥0，a>0）．

aa（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

【典型例题】

1、概念与性质

例1下列各式1）11,2)5,3)x22,4)4,5)()2,6)1a,7)a22a1，

53其中是二次根式的是_________（填序号）．

例2、求下列二次根式中字母的取值范围

x51（1）3x；（2）(x-2)2

例3、

在根式1) a2b2;2)x5;3)x2xy;4)27abc，最简二次根式是（

A．1) 2)

B．3) 4)

C．1) 3)

D．1) 4) y18x8x11xyx2,求代数式2yyx2的值。例4、已知：yx

例5、

（2009龙岩）已知数a，b，若(ab)2=b－a，则

( ) A. a>b B. a

C. a≥b D. a≤b

2、二次根式的化简与计算

例1. 将根号外的a移到根号内，得

( )

）

A. ； B. －； C. －； D.

例2.

把（a－b）

1－a－b

化成最简二次根式

例3、计算：

例4、先化简，再求值：

11b5151，其中a=，b=．

abba(ab)22

222

例5、如图，实数a、b在数轴上的位置，化简

：ab(ab)

4、比较数值

（1）、根式变形法

当a0,b0时，①如果ab，则ab；②如果ab，则ab。

例1、比较35与53的大小。

（2）、平方法

当a0,b0时，①如果a2b2，则ab；②如果a2b2，则ab。

例2、比较32与23的大小。

（3）、分母有理化法

通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

例3、比较21与的大小。

3121

（4）、分子有理化法

通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

例4、比较1514与1413的大小。

（5）、倒数法

例5、比较76与65的大小。

（6）、媒介传递法

适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

例6、比较73与873的大小。

（7）、作差比较法

在对两数比较大小时，经常运用如下性质：

①ab0ab；②ab0ab

例7、比较212与的大小。

313

（8）、求商比较法

它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：

①ab1ab；

②ab1ab

例8、比较53与23的大小。

5、规律性问题

例1. 观察下列各式及其验证过程：

，

验证：；

验证:. （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想44的变形结果，并进行验证；

15（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程. 例2. 已知，则a_________ 发展：已知，则a______。

例4、已知a>b>0，a+b=6ab，则ab的值为（

）

abA．12

B．2

C．2

D．

22时，分别作了如下变形：

例5、甲、乙两个同学化简

甲：==；

乙：=。

其中，（ ）。

A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确

C. 只有甲正确 D. 只有乙正确