选择适当的统计量描述一组数据的集中趋势优质课一等奖教案

20.1

数据的代表

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、掌握平均数、中位数、众数等数据代表的概念，能根据所给信息求出相应的数据代表. 2、掌握加权平均数的计算方法. 【重点难点】

1、掌握中位数、众数等数据代表的概念. 2、选择恰当的数据代表对数据做出判断.

知识概览图

总体—个体—样本—样本容量

数

据

的

代

表

1(x1x2nxxax反映一组数据

的集中趋势

平均数

xn)

x

x1f1x2f2nxkf1（其中n=f1＋f2＋…＋fk）

中位数

众数

新课导引

某中学举行歌咏比赛，六名评委给某选手打分如下：78分，77分，82分，95分，83分，75分，去掉一个最高分，去掉一个最低分，再统计平均分作为该选手的最后得分. 根据打分规则，选手的得分是：11×(78+77+82+83)=

×320=80(分)，除了用平均数来衡量44选手的得分外，是否还有其他的方法呢？

第1页

教材精华

知识点1 平均数的概念

算术平均数. 一般地，对于n个数x1,x2, ,…,xn,我们把简称平均数，记为x，则x＝新数据法. 当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：x＝x+a.其中a通常取接近1=x1-a·x2=x2-a,…，xn=xn- a, x=(x1+x2+…+xn)是新数于这组数据的平均数较“整”的数，x1n1（x1+x2+x3+…xn）叫做这n个数的算术平均数，n1（x1+x2+x3+…xn）. n据的平均数. 加权平均数. 在求n个数的算术平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里f1+f2+…+fk= n），那么这n个数的算术平均数x=平均数，其中f1,f2,总结：

如果x1(x1x2x3nxn),y1(y1y2y3nyn),则有下列结论：

x1f1x2f2nxkfk也叫做x1,x2,xk，这k个数的加权,fk分别叫做x1,x2,xk的权. ①x1y1,x2y2,x3y3,②x1,y1,x2,y2,x3,y3,,xnyn,的平均数为xy；

xy；

2xn,yn的平均数为③ax1b,ax2b,ax3b,,axnb的平均数为axb. 知识点2 总体、个体、样本

调查中，所要考察对象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体. 例如，某班10名女生的考试成绩是总体，每一名女生的考试成绩是个体. 从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本. 例如，要调查全县农村中学生学生平均每周每人的零花钱数，由于人数较多（一般涉及几万人），第2页

我们从中抽取500名学生进行调查，就是抽样调查，这500名学生平均每周每人的零花钱数，就是总体的一个样本. 知识点3 中位数的概念

将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数. 知识点4

众数的概念

一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 例如：求一组数据3，2，3，5，3，1的众数. 解：这组数据中3出现3次，2，5，1均出现1次.所以3是这组数据的众数. 又如：求一组数据2，3，5，2，3，6的众数. 解：这组数据中2出现2次，3出现2次，5，6各出现1次. 所以这组数据的众数是2和3. 【规律方法小结】（1）平均数、中位数、众数都是描述一组数据集中趋势的量. （2）平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数据都有关，是最为重要的量. （3）中位数不受个别偏大或偏小数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，一般用它来描述集中趋势. （4）众数只与数据出现的频数有关，不受个别数据影响，有时是我们最为关心的统计数据. 探究交流

1、一组数据的中位数一定是这组数据中的一个，这句话对吗？为什么？

解析：不对，一组数据的中位数不一定是这组数据中的一个，当这组数据有偶数个时，中位数由中间两个数的平均数决定，若中间两数相等，则这组数据的中位数在这组数据之中，反之，中位数不在这组数据之中. 总结：（1）中位数在一组数据中是唯一的，可能是这组数据中的一个，也可能不是这组数据中的数据. （2）求中位数时，先将数据按由小到大的顺序排列（或按由大到小的顺序排列）.若这组数据是奇数个，则最中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个，则最中间的两个数据的平均数是中位数。

（3）中位数的单位与数据的单位相同. 第3页

（4）中位数与数据排序有关.当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数来描述这组数据的集中趋势.

课堂检测

基本概念题

1、填空题. (1)数据15，23，17，18，22的平均数是

; (2)在某班的40名学生中，14岁的有5人，15岁的有30人，16岁的有4人，17岁的有1人，则这个班学生的平均年龄约是

；

(3)某一学生5门学科考试成绩的平均分为86分，已知其中两门学科的总分为193分，则另外3门学科的分为

; (4)为了考察某公园一年中每天进园的人数，在其中的30天里，对进园的人数进行了统计，这个问题中的总体是

，样本是

，个体是

.

基础知识应用题

2、某公交线路总站设在一居民小区附近，为了了解高峰时段从总站乘车出行的人数，随机抽查了10个班次的乘车人数，结果如下：

20，23，26，25，29，28，30，25，21，23. (1)计算这10个班次乘车人数的平均数; (2)如果在高峰时段从总站共发车60个班次，根据前面的计算结果，估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有多少.

综合应用题

3、某公司销售人员15人，销售总为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下表所示：

每人销售量/1800 510 250 210 150 120 第4页

件

人数

1 1 3 5 3 2 （1）求这15位营销人员该月销售量的平均数，中位数和众数; （2）假设销售部负责人把每位销售人员的月销售额定为320件，你认为是否合理？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额，并说明理由.

探索创新题

4、某校对初中毕业生按综合素质、考试成绩、体育测试三项给学生评定毕业成绩，其权重比例为4：4：2.毕业成绩达到80分以上（含80分）为“优秀毕业生”.小明、小亮和三项成绩如下表所示（单位：分）：

满分

小明

小亮

综合素质

100 72 90 考试成绩

100 98 75 体育测试

100 60 95 （1）小明和小亮谁能达到“优秀毕业生”水平？哪位同学的毕业成绩更好些？

(2)升入高中后，请你对他们今后的发展给每人提一条建议.

体验中考

1、已知一组数据2,1,x,7，3，5，3，2的众数是2，则这组数据的中位数是

（

）

A.2

B.2.5

C.3

D.5 2、某班派9名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是（单位：千克；67，59，61，59，63，57，70，59，65，这组数据的众数和中位数分别是（

）

A.59，63

B.59，61

C.59，59

D.57，61

第5页

学后反思

附：

课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、

(1)19

(2)15岁

(3)79分

(4)一年中每天进园的人数

所抽取的30天里每天进园的人数

每天进园的人数

2、分析

可先由平均数计算公式求出这10个班次乘车人数的平均数，再用求得的平均数乘以60，便可估算出高峰时段从总站乘该路车出行的乘客人数. 解：(1) x1(20232625292830252123)10

125010=25(人). 所以这10个班次乘车人数的平均数是25人. (2)6025=1500(人). 所以估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有1500人.

3、分析（1）利用平均数、中位数和众数的定义即可求解.（2）平均数受一组数据中的所有数据的影响，特别是偏大或偏小的数据（即极端值）对平均数的影响较大，所以不能用平均数确定销售定额，而中位数的众数不受个别数据的影响，所以用中位数或众数确定销售定额比较合适. 1（1800×1+510×1+250×3+210×5+150×3+120×2）

151

=×4800 15解：（1）平均数x

=320（件）. 中位数是210件，众数是210件. （2）不合理，因为15人中有13人的销售额达不到320件，销售额定为210件合适些，因为中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势，而210件是大部分人能完成的定额，有利于调动营销第6页

人员的工作积极性.

4、分析（1）通过加权平均数公式可计算出平均成绩；（2）是针对（1）中的数据而提出的具有建设性的意见. 解：（1）由权重比例4：4：2得权重分别为40%，40%，20%. 小明：72×40%+98×40%+60×20%=80（分）. 小亮：90×40%+75×40%+95×20%=85（分）. 故两位同学都是优秀毕业生，小亮成绩更好些. （2）建议小明加强优育锻炼并重视综合素质的提高，建议小亮更加努力学习.

体验中考

1、B

分析：因为众数是2，所以2的个数应该最多，即必有x=2，所以将数据从小到大排列为1,2，2，2，3，3，5，7.可求出中位数为23=2.5，故选B. 22、B 分析

59出现次数最多，将数据从小到大排列为57，59，59，59，62，63，65，67，70，这9个数据最中间的是61，故61为中位数，故选B.

20.2

数据的波动

学习目标、重点、难点

【学习目标】掌握极差、方差的概念，并能熟练应用极差、方差解决实际问题. 【重点难点】会求一组数据的极差.

知识概览图

数

据的波

动概念

方差

s[(x1

x)(x2x)公式：方差的算术平方根标准差

21n22(xnx)2]

第7页

新课导引

在日常生活中，我们经常用温差来描述气温的变化情况，例如：某日在不同时刻测得乌鲁木齐和广州的气温情况如下表所示：

时刻

0：00 4：00 14℃

22℃

8：00 20℃

23℃

12：00 24℃

25℃

16：00 19℃

23℃

20：00 16℃

21℃

公式：ss2

乌鲁木齐

10℃

广州

20℃

那么这一天两地的温差就可知了，于是可知两地的气温特点. 这一天两地的温差分别是：乌鲁木齐为24-10=14（℃），广州为25-20=5（℃），上

述两个温差告诉我们，这一天中乌鲁木齐的气温变化幅度较大，广州的气温变化幅度较小. 除了用极差能反映一组数据的变化幅度外，还有哪些量能反映数据的变化幅度呢？

教材精华

知识点1 极差

一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差. 极差反映了一组数据的变化范围，变化范围大，说明数据的波动大，离散程度大.当然，极差有时会受单独几个特大值或特小值的影响而发生较大的变化.

知识点2

方差

设有n个数据x1,

x2,…，xn各数据与它们平均数的差的平方分别是(x1x)2,(x2x)2,,(xnx)2，我们用它们的平均数，即用

(xnx)2]来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的1s2[(x1x)2(x2x)2n方差，记作s2.

知识点３

标准差

第8页

标准差是另外一个反映数据波动大小的量，标准差是方差的算术平方根，标准差的单位与原数据的单位是相同的. 标准差s=s2. 探究交流

1、在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄如下：

甲队：26,25,28,28,24,28，26，28，27，29；

乙队：28，27，25，28，27，26，28，27，27，26. 两队参赛选手的平均年龄分别是多少？两队参赛选手年龄波动的情况如何？

解析：上面两组数据的平均数分别是x甲=26.9，x乙=26.9. 从平均数上无法看出这两组数据的波动情况，我们可以从极差的角度来比较. 甲队参赛选手的年龄极差是：29-24=5(岁). 乙队参赛选手的年龄极差是：28-25=3(岁). 所以由数据的极差来看，乙队参赛选手年龄波动较小，比较稳定. 2、对于上题中的问题，用平均数法判断这两组数据的波动情况，用极差可知，乙队参赛选手的年龄比较稳定，那么，可否用方差来比较两个参赛队队员年龄的波动情况呢？

解析:因为x甲=26.9，x乙=26.9，

所以s2甲=s2乙=1[(2626.9)2(2526.9)210(2926.9)2]2.29,

1[(2826.9)2(2726.9)210(2626.9)2]0.89,

显然s2甲＞s2乙，由此可知甲队选手年龄的波动较大，也就是说，乙队选手年龄的波动较小，比较稳定.

课堂检测

基础知识应用题

1、计算数据3，4，5，6，7的方差、标准差、极差.（精确到0.1）

第9页

2、填空题. （1）数据5，6，7，8，9的方差是

; （2）一名运动员5次100米跑的训练成绩如下（单位：秒）：10.3，10.4，10.5，10.6，10.7，则这组数据的方差为

; （3）一名学生军训时连续射靶12次，命中的环数分别为7，4，8，6，5，7，9，2，3，6，8，7，则这名学生射击环数的标准差为

; （4）某校初三年级甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，两个班参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数统计和计算后结果如下表所示：

班级

甲

乙

参加人数

55 55 平均字数

135 135 中位数

149 151 方差

191 110 有一名同学根据上表得出如下结论：

①甲、乙两班的平均水平相同; ②乙班优秀人数比甲班优秀人数多（每分钟输入汉字150个以上为优秀）; ③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大. 上述结论正确的是

.

综合应用题

3、已知一组数据6，3，4，7，6，3，5，6.求：

（1）这组数据的平均数、众数、中位数; （2）这组数据的方差和标准差.

第10页

探索创新题

4、(1)观察下列各组数据并填空. A：1，2，3，4，5，xA=

，s2A=

. B：11，12，13，14，15，xB=

,s2B=

. C：10，20，30，40，50，xC=

，s2C=

. D：3，5，7，9，11，xD=

，s2D

. (2)分析比较A与B，C，D的计算结果，你能发现什么规律？

(3)若已知一组数据x1,x2,x3,,xn的平均数为x，方差为s2，那么另一组数据3x12,3x22,

体验中考

,3xn2的平均数为 ，方差为 . 1、给出一组数据，23，22，25，23，27，25，23，则这组数据的中位数是

;方差(精确到0.1)是

. 2、经市场调查，某种优质西瓜质量为(5±0.25)kg的最为畅销，为了控制西

瓜的质量，农科所采用A，B两种种植技术进行试验，现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20颗，记录它们的质量如下（单位：kg）：

A：4.1

4.8

5.4

4.9

4.7 5.0

4.9

4.8

5.8

5.2 5.0

4.8

5.2

4.9

5.2 5.0

4.8

5.2

5.1

5.0 B：4.5

4.9

4.8

4.5

5.2 5.1

5.0

4.5

4.7

4.9 5.4

5.5

4.6

5.3

4.8 5.0

5.2

5.3

5.0

5.3 (1)若质量为（5±0.25）kg的为优等品，根据以上信息完成下表：

第11页

A B 优等品数量/颗

平均数

4.990 4.975 方差

0.103 0.093 （2）请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对A，B两种技术作出评价;从市场销售的角度看，你认为推广哪种种植技术较好？

学后反思

附：

课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、解：因为7-3＝4，所以这组数据的极差为4. 11

因为x(34567)255.

551所以s2[(35)2(45)2(55)2(65)2(75)2]

51

＝（4+1+1+4）＝2. 5标准差s21.4.

2、答案：（1）2

（2）0.02

（3）56 （4）①②③

63、解：（1）按从小到大的顺序排列数据：3，3，4，5，6，6，6，7. 平均数是x=1840=5, 56＝5.5. 2众数是6，中位数是第12页

1（2）方差：s2=（4+4+1+0+1+1+1+4）＝2, 标准差s=2. 8 4、分析

(1)由平均数和方差的计算公式即可求得，A与B比较，B组数据是A组各数据加上10得到的，所以xBxA10，而方差不变，即s2Bs2A，A与C比较，C组数据是A组各数据的10倍，所以xC10xB，s2C102s2A，A与D比较，D组数据分别是A组各数据的2倍加1，所以xD2xA1,s2D22s2A. (2)规律：有两组数据，设其平均数分别为x1,x2，方差分别为s21,s22，①当第二组每个数据比第一组每个数据都增加m个单位时,则有x2x1m,s22s21.②当第二组每个数据是第一组每个数据的n倍时,则有x2nx1,s22n2s21.③当第二组每个数据是第一组每个数据的n倍加上m时,则有x2nx1m,s22n2s2.1这个规律也可以这样概述:已知一组数据x1,x2,x3,,xn的平均数为x1,方差为s2,那么另一组数据ax1b,ax2b,,axnb的平均数为axb,方差为a2s2.(3)由(2)的规律可解. 解:(1)3 2 13 2 30 200 7 8 (2)规律是: 若一组数据x1,x2,x3,,xn的平均数为x1,方差为s2,则另一组数据ax1b,ax2b,,axnb的平均数为axb,方差为a2s2. (3)3x2 9s2

体验中考

1、答案：23

2.6 2、解：（1）从上往下依次填16，10. （2）从优等品数量的角度看，因为A技术种植的西瓜优等品数量较多，所以A技术较好; 从平均数的角度看，因为A技术种植的西瓜质量的平均数更接近5kg，所以A技术较好; 从方差的角度看，因为B技术种植的西瓜质量的方差更小，所以B技术种植的西瓜质量更为稳定; 从市场销售角度看，因为优等品更畅销，A技术种植的西瓜优等品数量更多，且平均质量更接近5kg，因而更合适推广A技术..

第13页

第14页