构建知识体系教学设计(第一课时)

《二次根式复习课》教学设计

---- 大同市煤矿第二中学校

刘云鹰

教材分析

《二次根式》是人教版《数学》初中八年级下册第十六章的内容，属于“数与代数”领域。它是在学生学***方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”“代数式”等内容的延伸和补充。本章的主要内容有二次根式的概念、性质、运算和应用。二次根式的性质的依据是算术平方根的概念。二次根式的运算以整式的运算为基础，在进行二次根式的有关运算时，所使用的运算法则与整式、分式的相关法则类似；在进行二次根式的加减时，所采用的方法与合并同类项类似；在进行二次根式的乘除时，所使用的法则和公式与整式的乘法运算法则及乘法公式类似。这些都说明了前后知识之间的内在联系。本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用。

学情分析

学生在平时的学习中每个新学的知识点都懂，后面的习题也会做，但到了一章学完以后，不仅综合性的题不会做，甚至连做过的习题也不会做了．对这一奇怪现象，我认为是由于知识遗忘、综合运用能力不高而造成的正常现象，不必为此惊慌．事实真的是如此吗？其实，正常现象之说是站不住脚的，由于教材上每节课后面的习题与知识点同步，因此多数题能用本节知识对号入座地解出，所以根本原因在于平时的学习之后出了问题。也就是学生缺乏一定的整理、归纳、小结和复习知识的能力。整理和复习在数学教学中占有重要的地位，做好这一内容的教学对提高整个数学复习效率，促进学生第1页

素质全面发展具有重要的意义。

课标要求

了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行相关的简单四则运算。

教学目标

1、知识与技能目标

（1）了解二次根式的概念和意义、理解并掌握二次根式的性质和运算法则。

（2）用二次根式的意义和性质进行求取值范围化简和运算。

（3）会初步运用二次根式的性质及运算解决简单的实际数学问题。

2、过程与方法目标

（1）经历应用性质解决问题的过程，发展运算能力，体验数学的严谨性。

（2）经历梳理本章所学内容，形成知识体系，培养学生归纳和概括能力。

（3）经历本章的学习过程，渗透转化、分类讨论和类比等数学思想方法。 3、情感与态度目标

（1）通过常见的情境资料，吸引学生注意力，激发学生学习兴趣，拉近师生之间情感距离，为完成本复习课打下良好的基础。

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（2）通过老师的及时表扬，鼓励学生积极主动地参与教与学的整个过程，激发学生求知的欲望，让学生体验成功的喜悦，增加学生学习数学的兴趣的信心。

（3）通过本章的复习过程，进一步让学生体会数学知识二次根式来源于实际又反过来应用于实际的辩证唯物主义思想。

重点难点

教学重点：运用二次根式的意义和性质进行取值范围、化简和运算；梳理整章知识，形成二次根式知识体系。

教学难点：运用数形结合的思想解决问题

教学过程

一、情境引入

子曰：“温故而知新，可以为师矣。”什么意思？这里的“师”是什么意思？可不是老师的意思，是大师的意思，一个领域的杰出代表。今天我们就走走大师之路，对所学的二次根式复习一下。

设计意图：通过同学熟知的论语句子，引发全体学生的学习兴趣和积极性、启发他们的探索欲望；激发他们树立远大理想的信心。

二、绘制本章知识框架

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设计意图：通过对知识的梳理，让学生对本章知识有个系统的认知，理清知识点之间的联系，掌握注意的地方，加深对知识的全面理解。

三、本章知识梳理

梳理一. 二次根式定义

一般地，我们把形如a(a0)的式子叫做二次根式“”称为二次根号。强调：二次根式被开方数不小于0，二次根式的根指数为2. 只有这些吗？我们一起来强化一下二次根式的概念：

（1）首先它表示a的算术平方根

（2）其次 a可以是数,也可以是式. （3）刚刚强调的，二次根式有意义的条件是

a≥0

（4）除了a≥0,同时

a≥0 这是二次根式的——双重非负性

（5）二次根式既可表示开方运算,也可表示运算的结果

考题精选

1、下面我们看看大家掌握的怎么样，指出下列哪些是二次根式？

①

②

③

④

(b≥0

⑤

(a≥2) ⑥

(a＜b)

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2、再来一波儿，x取何值时,下列各式有意义? (1)x1(2)3x

(3)4x2(4)1x

x2(5)1xx1

(6)x1

3、能使二次根式

（

）²有意义的实数x的值有（ ）

A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个

设计意图：通过活动使学生回忆二次根式有意义的条件，判断学生对此知识点的掌握情况，巩固学生对二次根式取值范围的掌握。

梳理二．二次根式的性质

(1)

≥0，（a≥0） (2)(

)²=a, （a≥0）

(3)a²=|a|=

a,a0

-a,a＜0考题精选

①

（

）²

②当x＞1时，

=x-1 ③

（

²=x-2，则Ｘ的取值范围是x≥2 ④计算：(10)2(33)2

解：(10)2(33)2

10(3)2(3)2

1027

17⑤已知三角形的三边长分别是a、b、c，那么cab(acb)2 等于（ D ）

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A、2a-b B、2c-b C、b-2a D、2b-2C

⑥实数 a、b在数轴上的对应点如图所示，化简

²

²+︱a+b︳的结果为-3b. 数形结合思想

⑦若１＜Ｘ＜４，则化简

²

的结果是3 公式逆用

性质公式(

)2 =a（a≥ 0）逆用可以得到： a=(

)2

（a≥0）利用这个式子，可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式。

例如：3= （

)2 ，b= （

)2 （b ≥0）

考题精选

在实数范围内因式分解：4m2-7 解： 4m2-7= (2m)2- (

)2

=(2m+

)(2m-

) 练

习

(1)x22x2(2)2x2x2

(2)2x23y2(2x)2(3y)22x3y2x3y

设计意图：通过活动，既能调动全班每一位学生积极愉快地参与到数学学习活动，又能使教师在最短的时间内了解到全班每一位学生对二次根式性质的掌握情况，设计这一环节体现了“面向全体学生”和“有效教学”的教学理念。

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梳理三.代数式的定义

形如5，a,a+b,ab,,x²,

,

(a≥0)的式子，它们都是用基本运

算符号（基本运算包括加，减，乘，除，乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。

1.下列各式哪些是代数式？哪些不是代数式？

（1）3＞2；（2）a+b=5；（3）a；（4）3；（5）5+4-1；（6）m米；（7）5x-3y 2.求值

(1)已知a=1+ 2,b=1- 2

,求a2-2ab+b2的值

（2）当

x=2- 3, 求代数式x2-4x+5 的值

设计意图：通过例题使学生回忆代数式的定义，判断学生对此知识点的掌握情况，巩固学生对代数式的掌握;求值的题型有两种：一种是先化简后求值，一种是直接代入求值,应该告诉学生根据代数式灵活选择。

梳理四.二次根的乘除

（1）积的算术平方根的性质

abab(a0,b0)

积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积. （2）二次根式的乘法法则

abab(a0,b0)

（3）商的算术平方根的性质

aa(a0,b0)

bb商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方第7页

根

（4）二次根式的除法法则

aa(a0,b0)

bb考题精选

1.计算

(1)

×10

（2）480.5

2.已知ａ＜0，化简二次根式

³

的正确结果是（

）

A.-a

B.-a

C.a

D.a

3、把下列各式中根号外的因数（式）移到根号内：

(1)5

; (2)-3

; (3)-2a

; (4)a

设计意图：强化二次根式的乘除运算、利用积的算术平方根的性质、商的算术平方根的性质，对二次根式进行化简。

梳理五.最简二次根式的定义.

满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次式. (1)被开方数的因数是整数，因式是整式. (2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式. 考题精选

下列根式中，哪些是最简二次根式？

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12a,18,x29,ab,25x3y,27abc,2x2y,3xy,55(a2b2)设计意图：使学生通过最简二次根式的判断，让学生明白二次根式的化简的依据和二次根式的计算的依据一样，让学生记住二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式。

梳理六 .同类二次根式的定义

几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就叫做同类二次根式。

判断几个二次根式是否为同类二次根式的方法：

1、先化简：把各个二次根式都化为最简二次根式。

2、再观察：化简后的二次根式的被开方数是否相同。

考题精选

下列各组二次根式是否为同类二次根式？

(1)50与0.5

(2)12与18

(3)a2b与2b

2ab21

(4)与ab(5)a3与33a

设计意图：再一次强化了把二次根式化成最简二次根式，类比同类项辨别同类二次根式。

梳理七.二次根式加减法则

二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。

注意：对被开方数相同的二次根式进行合并，实质是对被开方数相同的二次根式的系数进行合并。

计

算

(1)28加减混合运算，应从左向右依次计算。

设计意图：类比合并(2)24类二次根式进行加减。

12126同类项的法则对同238111832

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梳理八. 混合运算法则

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1.先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的. 2.对于二次根式的运算，各种运算律照常使用，各种乘法公式照常使用

考题精选

计算：

（1）(

-

+

)

（2）（

+）

（3）（7+

）²-（7-

）²

设计意图：考察二次根式除乘加减混合运算，考察去括号法则，回顾多项式乘多项式法则，再次体验类比思想方法。

梳理九.二次根式的非负性的应用. 1、已知：

+

=0,求 x-y 的值.

解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8 x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12

2、已知函数yx-22-xx1,求yx的值。

x-20x2

解：由得：2-x0x2x2

y-1

2yx（-1）1

23、已知x563yz20求xyz的值。

(-5)×2×(-2)=20

设计意图：使学生学会有限个非负数的和等于0，则每个非负数都必须是0，所以求解这类问题常转化为方程或方程组。再次体验转化的数学思想方法。

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梳理十.二次根式的应用

斜塔上使两个重量不等的铁球从塔顶垂直自由落下，结果同时着地，从而一举推翻了古希腊著名学者亚里士多德关于重量不同的物体，其下落的速度也不同的定理. 实际上一个物体从高度为h米的高处自由下落，如果不考虑空气的阻力，那么物体从开始下落到刚好落地所用的时间可以用式子t=

秒来表示，由这个公式看出物

体下落的时间只与高度有关，与物体的质量无关. 若某物体从100米的高度自由下落，求该物体下落的时间（结果保留根号）. 设计意图：通过应用练习，让学生对于所学的内容进行再次巩固，并增加自己的解题能力同时让学生感知数学知识与生活实际密切联系。

四、知识拓展

阅读理解材料：把分母中的根号去掉叫做分母有理化，例如：

（1）=

(2)===

+1

²

=等运算都是分母有理化．根据上述材料，

1、化简

+++…+

2、计算

+

++

+…++…+

+

设计意图：通过分母有理化的两种情况，再次强化对二次根式的化简；同时通过材料分析，提高学生的阅读理解能力。通过计算，发散学生的逻辑思维能力。

五、课堂小结

1、你能说说本章的主要知识吗？还有什么疑惑吗？ 2、你体会到哪些数学思想方法？转化思想、类比思想

、数形结合思想

六、作业布置

第

十六章

检测题

七、板书设计

第11页

第

16章

二

次

根

式复习

八、课后反思

教学反思

在教学过程中仍然存在过高估计学生的学习能力，每节课设计的教学内容过多，经常一节课结束后还有不少内容没有完成，如对二次根式的性质的应用时，考虑到以前已经学过，自以为学生不存在困难，就没有重点分析，结果导致不少学生在二次根式的化简过程中因此而出错。

在学生的学习方面，我班的学生在老师指导下学习数学方面的积极性并不差，但自主学习方面还存在着不足。遇到困难有畏难情绪、对老师的依赖性太强、作业只求完成率而不讲质量、学习的竞争意识和自我要求明显缺乏。这些都有待于在今后的教学中进行教育和引导。

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