方差的应用名师教学设计1

20.2 数据的波动程度

肃宁第四中学 王亚茹

知识与技能

1.了解方差的定义和计算公式. 2.理解方差概念的产生和形成的过程. 3.会用方差计公式来比较两组数据的波动大小并能解决一些问题. 过程与方法

经历探索方差的应用过程,体会数据波动中的方差的求法,积累统计经验. 情感态度与价值观

培养学生的统计意识,形成尊重事实、用数据说话的态度,认识数据处理的实际意义.

教学重难点

【重点】

方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题.

【难点】

理解方差公式,应用方差对数据波动情况的比较、判断. 教学准备

【教师准备】

教学中所有的例题和图表资料. 【学生准备】 预习教材第124~127页内容.

教学过程

一．新课导入

我们常常用平均数、中位数来刻画数据的“平均水平”,但在有些情况下“平均水平”是不够的.课本引言中有下面的问题:

农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时,甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院最关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况,农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验,得到各试验田每公顷的产量(单位:t)如下表: 甲

7.65 7.64 乙

7.55 7.52 7.50 7.50 7.56 7.58 7.62 7.40 7.53 7.46 7.59 7.41 7.44 7.53 7.65 7.41 7.49 7.49 根据这些数据估计,农科院应该选择哪种甜玉米种子呢?

学生想到计算它们的平均数.教师把学生分成两组分别计算这两组数据的平均数.(请两名同学到黑板板书)

追问:怎样估计这个地区这两种甜玉米的平均产量?这能说明甲、乙两种甜玉米一样好吗?

[设计意图] 让学生明确农科院应该选择哪种甜玉米种子,需关注平均产量.让学生明确可以用样本平均数估计总体平均数,发现甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大,但需选择哪种甜玉米种子,仅仅知道平均数是不够的.

思路一

如何考察甜玉米产量的稳定性呢?请设计统计图直观地反映出甜玉米产量的分布情况.

教师引导学生用折线图或散点图反映数据的分布情况.

画出折线图或散点图后,小组讨论,得到甲种甜玉米的产量波动较大,乙种甜玉米的产量波动较小. 我们常常用平均数、中位数来刻画数据的“平均水平”,但在有些情况下“平均水平”是不够的. 从图中看出的结果能否用一个量来刻画呢?

教师提出方差公式,并作分析和解释,波动大小指的是与平均数之间的差异,那么用每个数据与平均数的差完全平方后便可以反映出每个数据的波动大小. 自读课本124-127页，勾划出主要知识点. 二．新知构建.

1.方差

学生讨论后说出主要知识点

方差：设有n个数据x1,x2,…,xn,各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1x)2，,我们用这些值的平均数,即用(x2x)2,…,

(xnx)2

1[(x1x)2(x2x)2L(xnx)2]来衡量这组数据波动的大小,并把它叫n做这组数据的方差,记作s2. (1)把所有差相加; (2)把所有差取绝对值相加;

(3)把这些差的平方相加.

学生计算后追问:你认为哪种方法更能明显反映数据的波动情况?

学生发现第(3)种方法更能反映数据的波动情况.

教师说明:平方是为了在表示各数据与其平均数的偏离程度时,防止正偏差与负偏差的相互抵消.取各个数据与其平均数的差的绝对值也是一种衡量数据波动情况的统计量,但方差应用更广泛.整体的波动大小可以通过对每个数据的波动大小求平均值得到.

[设计意图] 让学生明白当两组数据的平均数相近时,为了更好地做出选择,需要去了解数据的波动大小,画折线图或散点图是描述数据波动大小的一种方法,进而引出如何用数值表示一组数据的波动.通过学生动手画图,观察体会数据的波动情况,在教师的引导下,感受新知,并在合作交流过程中,得出规律,获取新知识.

2.方差的公式s2[(x1x)2(x2x)2L(xnx)2]

3.方差的意义：方差越大,数据的波动越大,方差越小,数据的波动越小. 说明意义:在样本容量相同的情况下,方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定.

[设计意图] 让学生明白方差是能够反映一组数据的波动大小的一个统计量,并从方差公式中得到方差越大,数据的波动越大,方差越小,数据的波动越小.

三．例题讲解

例1在一次芭蕾舞比赛中,甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》,参加表演的女演员的身高(单位: cm)如下: 1n

甲163 164 164 165 165 166 166 167 乙

163 165 165 166 166 167 168 168

哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐?

教师引导学生分析:

(1)题目中“整齐”的含义是什么?学生通过思考可以回答出整齐即身高的波动小,所以要研究的是两组数据的波动大小,即求方差.

(2)在求方差之前先要求哪个统计量?(平均数)

(3)老师板书解题过程,学生和老师一起计算、判断、解决问题.

解:甲、乙两团演员的身高平均数分别是: x甲=165, x乙=166.

方差分别是:

s2甲=1.5, s2乙=2.5.

由s2甲< s2乙可知甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐.

[解题策略] 注意先算平均数,再算方差. 例2某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者的欢迎,现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿,两家鸡腿的价格相同,品质相近.快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿.检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15个,记录它们的质量(单位:g)如下所示.根据表中数据,你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿? 甲

74 74 75 74 76 73 76 73 76 75 78 77 74 72 73 乙

75 73 79 72 76 71 73 72 78 74 77 78 80 71 75

教师引导学生分析:

(1)题目中“选购”的标准是什么?学生通过思考可以回答出首先比较平均数,在平均数基本相同的时候,通过方差比较稳定性.

(2)老师板书解题过程,学生和老师一起计算、判断、解决问题.

解:检查人员从甲、乙两家农副产品加工厂各随机抽取15个鸡腿分别组成一个样本,样本数据的平均数分别是: x甲≈75, x乙≈75.

样本数据的方差分别是: s2甲≈3, s2乙≈8.

由平均数可知,两家加工厂的鸡腿质量大致相等;由s2甲< s2乙可知,甲加工厂的鸡腿质量更稳定,大小更均匀.因此,快餐公司应该选购甲加工厂生产的鸡腿.

[设计意图] 使学生明确利用方差计算的步骤,以及方差反映数据波动大小的规律,同时培养了学生应用样本估计总体的意识. 用方差比较两组数据的波动大小,注意,只有当两组数据的平均数相等或接近时,才能采用这种方法.

教师进一步引导学生看教材124页图,进行讲述:

甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大.甲种玉米在试验田的产量波动较大,乙种甜玉米的产量集中地分布在平均产量附近.

问题:利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程度.

师生共同计算: x甲=7.537 sx乙=7.515 s2甲2≈0.010, ≈0.002. 乙

∵s2甲>s2乙,

∴这个地区比较适合种乙种甜玉米.

总结归纳:当数据分布比较分散时,各个数据与平均数的差的平方和较大,方差就较大;当数据与平均数的差的平方和较小,方差就较小.方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小.

[设计意图] 通过计算,应用公式,帮助学生进一步理解方差公式,让学生掌握方差可以反映一组数据的波动大小. 四.巩固练习（见课件）

五.归纳小结：

1.方差：设有n个数据x1,x2,…,xn,各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1x)2，,则方差为(x2x)2,…,

(xnx)2

1s2[(x1x)2(x2x)2...(xnx)2]

n2.意义:在样本容量相同的情况下,方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定.

[设计意图] 让学生明白方差是能够反映一组数据的波动大小的一个统计量,并从方差公式中得到方差越大,数据的波动越大,方差越小,数据的波动越小. 用方差比较两组数据的波动大小,注意,只有当两组数据的平均数相等或接近时,才能采用这种方法.. 五.检测反馈

1.甲、乙、丙、丁四位选手各射击10次,每人的平均成绩都是9.3环,方差如下表: 选手

甲

乙

丙

丁

方差

0.035 0.016 0.022 0.025 则这四人中成绩发挥最稳定的是

(

) A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

2.数据4,2,6的中位数和方差分别是

(

) A.2,

B.4,4

C.4,

D.4, 3.(2015•遵义中考)如果一组数据x1,x2,…,xn的方差是4,则另一组数据x1+3,x2+3,…,xn+3的方差是

(

) A.4

B.7

C.8

D.19 4.已知甲、乙两组数据的平均数相等,若甲组数据的方差s2甲=0.055,乙组数据的方差s2乙=0.105,则 组数据波动较大. 5.跳远运动员李刚对训练效果进行测试,6次跳远的成绩如下:7.6,7.8,7.7,7.8,8.0,7.9(单位:m),这6次成绩的平均数为7.8,方差为 .如果李刚再跳两次,成绩分别为7.7,7.9,则李刚这8次跳远成绩的差 .(填“变大”“不变”或“变小”) 6.甲、乙两种水稻实验品种连续5年的平均单位面积产量如下表(单位:吨/公顷)

品种

第1年

第2年

第3年

第4年

第5年

甲

9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙

9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 经计算, x甲=10, x乙 =10,试根据这组数据估计哪种水稻品种的产量比较稳定、

[设计意图] 再次强化方差的定义和应用范围,让学生进一步体会“知识来源于实践”,同时学生的思路得以拓展. 六．板书设计

20.2 数据的波动程度

1.方差的意义

2.方差公式

3.例题讲解

例1

例2 4.归纳小结

5.分层作业

七.布置作业 【必做题】 教材

第126页练习第1,2题; 第127页练习题; 第128页习题20.2第1,2题. 【选做题】 教材

第128页习题20.2第3,4题.

本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应的教学目标.把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的.整节课以“问题情境——分析探究——得出结论——实践应用——总结升华”为主线,使学生亲身体验方差的探索和验证过程,努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.

不足之处

学生对于方差公式的理解不是特别到位,特别对于方差公式的得到有疑问.

再教设计

加强对方差公式的讲解,告诉学生为什么利用这个公式可以更好地表示数据的波动大小.