原（逆）命题、原（逆）定理名师教学视频（文字实录）

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17.2

勾股定理的逆定理

1.会理解并判断勾股数,掌握勾股定理的逆定理,并能灵活应用逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.

1.通过对勾股定理的逆定理的探索,经历知识发生、发展和形成的过程.

2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数形结合方法的应用.

1.通过用三边之间的数量关系来判断三角形的形状,体验数与形的内在联系,感受定理与逆定理之间的和谐辩证统一的关系.

2.在对勾股定理的逆定理的探索中,培养了学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度,同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.

【重点】

勾股定理的逆定理的应用.

【难点】

勾股定理的逆定理的证明.

【教师准备】

教学中出示的教学插图和例题.

【学生准备】

三角板、绳子.

导入一：

[过渡语]

同学们,你们是如何画直角的?想知道古埃及人是如何画直角的吗?

古埃及人画直角的方法：把准备好的一根打了13个等距离结的绳子,然后按3个结,4个结,5个结的长度为边长,摆放成一个三角形.你认为这个三角形是直角三角形吗?

学生利用准备好的绳子,以小组为单位动手操作,观察,做出合理的推断.

[设计意图]

介绍前人经验,启发思考,使学生意识到数学来源于生活,同时明确了本节课研究的问题,既实行了数学史的教育,又锻炼了学生动手实践、观察探究的水平.

导入二：

你能说出勾股定理吗?并指出定理的题设和结论.

学生独立回忆勾股定理,师生共同分析得出其题设和结论,教师引导指出勾股定理是从形的特殊性得出三边之间的数量关系.

追问：你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗?

师生共同得出新的命题,教师指出其为勾股定理的逆命题.

222

追问：“如果三角形的三边长a,b,c满足a+b=c,那么这个三角形是直角三角形.”能否把它作为判定直角三角形的依据呢?本节课我们一起来研究这个问题.

[设计意图]

通过对前面所学知识的归纳总结,自然合理地引出勾股定理的逆定理.

1.勾股定理的逆定理

思路一

(1)归纳猜想

[过渡语]

从古埃及人的画直角的方法,你有什么启发吗?

提问：

①如果改变一下三条边的结数,是否还能摆放出同样形状的三角形吗?

②画图看一看,三角形的三边长分别为2.5 cm,6 cm,6.5 cm,观察三角形的形状.再换成4 cm,7.5 cm,8.5 cm试试看.

③三角形的三边具有怎样的关系,才得到上面同样的结论?

教师根据学生的思考结果,对第③个问题总结归纳,提出猜想：

222

如果三角形的三边长a,b,c满足a+b=c,那么这个三角形是直角三角形.

222 [设计意图]

由特殊到一般,归纳猜想出“如果三角形三边长a,b,c满足a+b=c,那么这个三角形就为直角三角形”的结论,培养学生动手操作水平和寻求解决数学问题的一般方法.

思路二

下面的三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c.

5,12,13;7,24,25;8,15,17.

222

①这三组数都满足a+b=c吗?

②分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?

学生以小组为单位,按给出的三组数作出三角形,得出结论：①这三组数都满足a2+b2=c2;②以每组数为边长作出的三角形都是直角三角形.

222

师生进一步通过实际操作,猜想结论：如果三角形三边长a,b,c满足a+b=c,那么这个三角形是直角三角形.

[设计意图]

本活动通过让学生按已知数据作出三角形,并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的相关边的条件,猜想得出结论.

(2)原命题、逆命题

[过渡语]

把勾股定理记为命题1,猜想的结论记为命题2.

提问：命题1和命题2的题设和结论分别是什么?

学生独立思考回答问题,命题1的题设是直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,222222结论是a+b=c;命题2的题设是三角形的三边长a,b,c满足a+b=c,结论是这个三角形是直角三角形.

教师引导学生分析得出这两个命题的题设和结论正好是相反的.归纳出互逆命题概念：两个命题的题设和结论正好相反,像这样的两个命题叫做互逆命题,如果其中一个叫原命题,那么另一个就叫做它的逆命题.

提问：请同学们举出一些互逆命题,并思考：原命题准确,它的逆命题是否也准确呢?举例说明.

学生分组讨论合作交流,然后举手发言,教师适时记下一些互逆命题,其中既包含有原命题、逆命题都成立的互逆命题,也包括原命题成立逆命题不成立的互逆命题.如：①对顶角相等和相等的角是对顶角;②两直线平行,内错角相等和内错角相等,两直线平行;③全等三角形的对应角相等和对应角相等的三角形是全等三角形.

追问：在大家举出的互逆命题中原命题和逆命题都成立吗?

学生举手发言回答,另一学生纠错.同时教师引导学生明确：①任何一个命题都有逆命题.②原命题准确,逆命题不一定准确;原命题不准确,逆命题可能准确.③原命题与逆命题的关系就是命题中题设与结论“互换”的关系.

[设计意图]

让学生在合作交流的基础上明确互逆命题的概念,在互动的过程中掌握互逆命题的真假性是各自独立的.

(3)勾股定理的逆定理的证明

[过渡语]

原命题准确,它的逆命题不一定准确,那么勾股定理的逆命题准确吗? 222

如果你认为是准确的,你能证明这个命题“如果三角形的三边长a,b,c满足a+b=c,那么这个三角形是直角三角形”吗?

教师引导学生分析命题的题设及结论,让学生独立画出图形,写出已知和求证.

222

已知：如图所示,△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且a+b=c.

求证：∠C=90°.

追问：要证明△ABC是直角三角形,只要证明∠C=90°,由已知能直接证吗?

教师引导,如果能证明△ABC与一个以a,b为直角边长的Rt△A'B'C'全等.那么就证明了△ABC是直角三角形,为此,能够先构造Rt△A'B'C',使A'C'=b,B'C'=a,∠C'=90°,再让学生小组讨论得出证明思路,证明了猜想的准确性.教师适时板书出规范的证明过程.

证明：如图所示,作直角三角形A'B'C',使∠C'=90°,B'C'=a,A'C'=b,

由勾股定理得A'B'===c,

∴A'B'=AB,B'C'=BC,A'C'=AC,

∴△ABC≌△A'B'C',∴∠C=∠C'=90°,

∴△ABC是直角三角形.

教师在此基础上进一步指出,如果一个定理的逆命题经过证明是准确的,那么它也是一个定理,我们把上面所形成的这个定理叫做勾股定理的逆定理,称这两个定理为互逆定理.

[设计意图]

引导学生用图形和数学符号语言表示文字命题,构造直角三角形,让学生体会这种证明思路的合理性,协助学生突破难点.

2.例题讲解

(教材例1)判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：

(1)a=15,b=8,c=17; (2)a=13,b=14,c=15.

学生独立完成,教师适时指导,并规范地书写解题过程.在此活动中,教师协助学生分析得到：要判断一个三角形是不是直角三角形,可根据勾股定理及其逆定理,关键是对两条较小边长的平方和与最大边长的平方实行比较,只有相等时才是直角三角形.

222222

解：(1)因为a+b=15+8=289,c=17=289, 222

所以15+8=17,

根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形.

222222 (2)因为a+b=13+14=365,c=15=225, 222

所以13+14≠15,

所以这个三角形不是直角三角形.

[过渡语]

像15,8,17这样,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数.

提问：同学们还知道哪些勾股数?请完成以下未完成的勾股数：

(1)3,4, ;

(2)6,8, ;

(3)7,24, ;

(4)5,12, ;

(5)9,12, .

[设计意图]

通过练习,学会使用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.

[知识拓展]

勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一,利用它判定是否为直角三222222角形的一般步骤：①确定最大边长c;②计算a+b和c的值,若a+b=c,则此三角形是直222222角三角形;若a+bc,则此三角形是锐角三角形.

(教材例2)某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16 n mile,“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处,且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?

引导学生认真审题,弄清已知是什么,解决的问题是什么.

学生通过思考举手回答,教师在黑板上列出：已知两艘轮船的航速,它们的航行时间以及相距的路程,“远航”号的航向——东北方向;解决的问题是“海天”号的航向.

引导学生尝试画图,教师在黑板上或多媒体中画出示意图.

引导学生分析：图中的E,N分别表示东、北两个方向.要求出“海天”号的航行方向,只要求出∠RPQ的度数,而∠1=45°,利用角的和差得出∠2的度数.

解：根据题意,由已知得PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30.

222222

因为24+18=30,即PQ+PR=QR,

所以∠QPR=90°,

由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°,所以∠2=∠QPR-∠1=45°,

即“海天”号沿西北方向航行.

[设计意图]

学生在规范化的解答过程及练习中,提升对勾股定理逆定理的理解以及实际应用的水平.

师生共同回顾本节课所学主要内容：

(1)已知一个三角形的三边长,利用勾股定理的逆定理来判定这个三角形是不是直角三角形.

(2)一个命题一定有逆命题,一个定理不一定有逆定理.

(3)三个数满足勾股数的两个条件：①三个数必须满足较小的两个数的平方和等于最大的一个数的平方;②三个数必须都是正整数.

(4)解题时,注意勾股定理与其逆定理的区别.勾股定理是在直角三角形中使用的,而勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的.

1.(2019·毕节中考)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是 ( ) A.,, B.1,, C.6,7,8 D.2,3,4 222222

解析：A中,()+()≠(),不能构成直角三角形,故错误;B中,1+()=(),能构成直角三角222222形,故准确;C中,6+7≠8,不能构成直角三角形,故错误;D中,2+3≠4,不能构成直角三角形,故错误.故选B.

222 2.若△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)(a+b-c)=0,则△ABC是 ( ) A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

222

解析：根据题意可得a=b或a+b-c=0,所以△ABC可能为等腰三角形,也可能为直角三角形.故选C.

3.下列说法中准确的有 ( ) (1)在一个三角形中,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这条边所对的角是直角; (2)命题“在一个三角形中,有一个角是30°,那么它所对的边是另一边的一半”的逆命题是真命题; (3)勾股定理的逆定理是：如果两条直角边长的平方和等于斜边长的平方,那么这个三角形是直角三角形; (4)△ABC的三边之比是1∶1∶,则△ABC是直角三角形.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解析：(1)准确,(2)错误,(3)错误,(4)准确,故有两个说法是准确的.故选B.

4.如图(1)所示的是一块地,已知AD=4 m,CD=3 m,AD⊥DC,AB=13 m,BC=12 m,求这块地的面积.

解：如图(2)所示,连接AC.

∵AD⊥DC, 222

∴在Rt△ACD中,AD+CD=AC,

∴AC===5(m).

222222

∵AC+BC=5+12=13=AB,

∴△ABC为直角三角形, 2

∴这块地的面积为S=S△ABC-S△ACD=AC·CB-AD·DC=×5×12-×3×4=24(m).

17.2

勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理

(1)归纳猜想

(2)原命题、逆命题

(3)勾股定理的逆定理的证明

2.例题讲解

例1

例2

一、教材作业

【必做题】

教材练习第33页第1,2,3题;教材第34页习题17.2第1,2,3,4题.

【选做题】

教材第34页习题17.2第7题.

本节课以“提出问题——解决问题”为主线,以学生的自主探索学习为中心,从解决问题的完成情况看,知识目标完全达到,水平目标基本实现,情感目标基本实现.

在本节课教学中,充分发挥学生在教学中的主体作用,教师不能一味地“讲知识”,而是应用启发式的原则,给学生指明学习目标和方向,让学生去自主探究,注重了知识上的即时巩固,也侧重了学生各方面的素质的培养.

在重难点的突破上,还应加一些递进的习题,降低题的难度,使优生学好,中等生也能跟上.同时,缺少了板书示范,不利于学生养成良好的书写习惯.