二次根式的混合运算优秀教案案例

二次根式的混合运算整体设计

教学目标

知识与技能

在有理数的混合运算及整式的混合运算基础上,使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的联系,在比较中得到方法,并能熟练地进行二次根式的混合运算.

过程与方法

1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较,注意运算顺序及运算律在计算过程中的作用.

2.通过引导,在多解中进行比较,寻求有效快捷的计算方法.

情感态度与价值观

1.学会知识间的类比,进一步体会数学学习方法的重要性.

2.通过独立思考与小组讨论,培养良好的学习态度.

教学重难点

【重点】

能熟练进行二次根式的混合运算.

【难点】

灵活运用因式分解、约分等技巧,运用运算律使计算简便.

教学准备

【教师准备】

教学中出示的教学插图和例题.

【学生准备】

复习总结二次根式的加减运算的方法.

导入一:

教师节快要到了,为了表示对老师的敬意,小波做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师.其中一张面积为800 cm2,另一张面积为4500 cm2,他想如果再用金彩带镶上边会更漂亮.他现在有一条长1.2 m的金彩带,请你帮忙算一算,他的金彩带够用吗?若不够用,还需要购买多长的金彩带?

引导学生计算所需金彩带的总长,列式为4(

+

),思考计算方法.

如何计算呢?通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题.

[设计意图]

创设问题情境,激起学生的探索兴趣和求知欲望.

导入二:

让我们一起来回顾一下二次根式的基本运算,你会计算下面几个式子吗?

计算:

(1)

+

;(2)

×

;(3)

÷

.

学生计算交流后,提出问题:

(

+

)

应怎样计算?乘法分配律依然可以应用吗?

本节课我们重点探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用和二次根式的混合运算的问题.

[设计意图]

通过复习二次根式的运算,自然过渡到二次根式的混合运算,明确本节课的目标.

1.探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用

思路一

[过渡语]

下面我们看看,整式乘法法则和公式在二次根式混合运算中仍然适用吗?

(1)怎样计算4(

+

)?

引导学生回忆学习过的整式乘法中的乘法分配律,仿照a(b+c)=ab+ac尝试计算,并全班交流.

4(

+

)=4

+4

=4×20

+4×30

=80

+120

.

(2)怎样计算(

+2

)(

-2

)?

引导学生回忆整式乘法公式,仿照(a+b)(a-b)=a2-b2尝试计算,并全班交流.

(

+2

)(

-2

)=(

)2-(2

)2=3-8=-5.

(3)(

+2

)2和(

-2

)2又该如何计算呢?

学生讨论,用完全平方公式计算.

(

+2

)2=(

)2+2×

×2

+(2

)2=3+4

+8=11+4

.

(

-2

)2=(

)2-2×

×2

+(2

)2=3-4

+8=11-4

.

进一步引导学生总结:整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用.

[设计意图]

用类比的方法探索二次根式混合运算的特点,使学生弄清楚新旧知识的区别和联系.让学生亲自动手,进行实验、探究,得出结论,激发学生的求知欲望.

思路二

(1)请同学们完成下列各题:

计算:

①(2x+y)·zx;

②(2x2y+3xy2)÷xy;

③(2x+3y)(2x-3y);

④(2x+1)2+(2x-1)2.

学生计算后,老师点评.这些内容是对八年级上册整式运算的再现.主要有:单项式×单项式;单项式×多项式;多项式×多项式;多项式÷单项式;完全平方公式的运用;平方差公式的运用.

如果把上面的x,y,z改成二次根式呢?以上的运算规律是否仍成立呢?仍成立.

整式运算中的x,y,z是一种字母,它的意义十分广泛,可以代表所有的式子,当然也可以代表二次根式,所以整式中的运算规律也适用于二次根式.

下面,我们来验证一下用乘法分配律计算(

+

)×

.

(

+

)×

=(2

+3

)×

=5

×

=10

,

(

+

)×

=

×

+

×

=4

+6

=10

.

引导学生观察,发现:这两种方法的结果是相同的.在二次根式运算中,乘法分配律依然可以应用.

(2)自己举例验证平方差公式和完全平方公式是否可以应用于二次根式的运算.

小组讨论后,全班交流.

[知识拓展]

(1)适用于二次根式的乘法公式:①平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;②完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.(2)乘法公式的变式:①位置变化:(x+y)(-y+x)=x2-y2;②符号变化:(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2=x2-y2;③指数变化:(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4;④系数变化:(2a+b)(2a-b)=4a2-b2;⑤换式变化:[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z2+2zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2;⑥增项变

化:(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=x2-2xy+y2-z2;⑦连用公式变化:(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4;⑧逆用公式变化:(x-y+z)2-(x+y-z)2=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]=2x(-2y+2z)=-4xy+4xz.

2.二次根式的混合运算

[过渡语]

二次根式的混合运算顺序也与整式混合运算顺序一样吗?

怎样计算(

-2

)(2

-

)?

同桌讨论,类比(a-2b)(2a-b)的计算方法计算上式.

(

-2

)(2

-

)

=

×2

-

×

-2

×2

+2

×

=6-

-4

+4

=-5

+10.

教师明确:二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样:先乘方,再乘除,最后加减;有括号时先算括号内的.

3.例题讲解

[过渡语]

刚才已经分析,二次根式仍然满足整数的运算律和有理数的混合运算顺序,下面我们直接运用这些运算律和公式来解决一些问题.

(教材例3)计算:

(1)(

+

)×

;

(2)(4

-3

)÷2

.

引导学生先观察式子的特点,确定:(1)属于“多项式×单项式”,直接用乘法分配律计算;(2)属于“多项式除以单项式”,“用多项式的每一项除以单项式,再将结果加在一起”即可.

解:(1)(

+

)×

=

×

+

×

=

+

=4

+3

.

(2)(4

-3

)÷2

=4

÷2

-3

÷2

=2-

.

(教材例4)计算:

(1)(

+3)(

-5);

(2)(

+

)(

-

).

学生观察发现,两个都是“多项式×多项式”的类型,可以根据整式乘法中多项式乘多项式的法则计算即可,而(2)根据平方差公式计算更简便.

解:(1)(

+3)(

-5)

=(

)2+3

-5

-15

=2-2

-15

=-13-2

.

(2)(

+

)(

-

)

=(

)2-(

)2

=5-3

=2.

[知识拓展]

(1)像(

+

)与(

-

)乘积可以运用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,同时它们的积是有理数,不含有二次根式,就属于互为有理化因式.一般常见的互为有理化的两个代数式有如下几种情形:①

和

;②

+

和

-

;③a+

和a-

;④m

+n

和m

-n

.(2)分母有理化是指把分母中的根号化去,通常在分子、分母上同乘一个二次根式,达到化去分母中的根号的目的.把

-

分母有理化得

-

-

=

=

.

[设计意图]

通过例题训练,使学生逐步形成类比意识,理解新旧知识的联系.

师生共同回顾本节课所学主要内容:

关于二次根式的四则混合运算,实质上就是实数的混合运算.(1)运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2)运算律仍然适用;(3)与多项式的乘法和因式分解类似,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.