原（逆）命题、原（逆）定理优质课教案设计

教 学 设 计

题 目

学 校

设计来源

教

材

分

析

学情分析

勾股定理

教 者

集体备课

总课时

年 级

八年级

学

科

8 数学

教学时间

勾股定理是九年制义务教育课程标准实验教科书八年级下册第十八章的内容。勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

针对八年级学生的知识结构、心理特征及学生的实际情况，可选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。

（一）知识与技能

1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的问题。

2、会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

3、通过具体的例子，了解定理的含义；了解逆命题、逆定理概念；知道原命题成立其逆命题不一定成立。

（二）过程与方法

1、让学生经历用面积法探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想，渗透观察、归纳、猜想、验证的数学方法，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。

（三）情感态度与价值观

1、通过了解勾股定理的历史，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。

2、让学生体验自己努力得到结论的成就感，体验数学充满了探索和创造，感受数学之美，探究之趣。

勾股定理、逆定理及运用

教

学

目

标

重点

难点

课前准备

勾股定理及逆定理的探索过程

1．多媒体课件

2、网络资源

教 学 流 程

分环

节

课与时间

时

△设计意图

教 师 活 动

学生活动

◇资源准备

□评价○反思

◇教师演示课件

△从现实生活中提出“赵爽弦图”，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生学习热情，同时为探索勾股定理提供背景材料．

△渗透从特殊到一般的数学思想．为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高．

活动1

欣赏图片

了解历史

4分钟

2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，学生观察图它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”．这就是本届大会的会徽片发表见解的图案．

（1）

你见过这个图案吗？

（2）

你听说过“勾股定理”吗？

毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家．相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某种特性．

活动2

（1）现在请你也观察一下，你能有什么发探索勾股现吗？

定

理

第（2）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，20分钟

一一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？

课

（3）你有新的结论吗？

在独立探究的基础上，学生分组交流．

时

活动3

有几百种之多．下面，我们就来看一看我国数学考的基础上以动学生思维的积极证明勾股家赵爽是怎样证明这个命题的．

小组为单位，性，为学生提供从事定

理

数学活动的机会，建（1）以直角三角形ABC的两条直角边a、b为边动手拼接．

17分钟

立初步的空间观念，作两个正方形．你能通过剪、拼把它拼成弦图的

样子吗？

（2）面积分别怎样表示？它们有什么关系呢？

发展形象思维

◇教师演示课件

是不是所有的直角三角形都有这样的特点◇教师演示课件

呢？这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明方法已学生在独立思△通过拼图活动，调活动4 1、本节课你有哪些收获？

总结反思

2、思想方法归纳？

3、作业：略

布置作业

4分钟

△通过小结为学生创学生谈体会．

造交流的空间，调动学生的积极性给学生

留有继续学习的空间和兴趣．

反思：本节课涉及了大量的有关学生可以

勾股定理的背景知识，

定理：如果直角三角形的两直角边长分别

感受到勾股定理所蕴含的浓郁板书设计

的数学文化。教学中应聆听学生222

为a，b，斜边为c，那么abc

发言，尊重学生发展。引导深挖

细究，体现过程方法。突出过程

评价，注重情感体验。

勾股定理

教 学 流 程

分环

节

课与时间

时

△设计意图

教 师 活 动

学生活动

学生思考、交流

◇资源准备

□评价○反思

◇教师演示课件

△问题是思维的起点，通过问题激发学生好奇、探究和主动学习的欲望．

我国古代3000多年前有一个叫商高的人，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话创设情境意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长引入新课

是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）4分钟

的长是5。你是否发现32+42与52的关系，即32+42=52，那么就有勾2+股2=弦2。

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

例1（补充）已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：a2＋b2=c2。

合作交流

分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有探究新知

颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面20分钟

积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正

学生先独立思考，在进行全班交流

△通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。第二课

时

◇教师演示课件

1、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、

∠C的对边为a、b、c。求证：a2＋b2=c2。

学生独立思

◇教师演示课件

2、直角三角形的斜；边长为41，一条直角边为考完成

△使学生明确，图应用迁移40，求另一直角边。

形经过割补拼接巩固提高

后，只要没有重叠，3、在△ABC中，∠BAC=120°AB=AC=103cm，17分钟

小组合作完没有空隙，面积不会改变。进一步让一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问成

当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。

学生确信勾股定理的正确性

4×1ab＋（b－a）2=c2，化简可证。

2

总结反思

1、本节课你有哪些收获？

2、还有哪些疑问？

布置作业

3、作业：

4分钟

学生归纳、总结谈感受

△通过小结能为学生从能力、情感、态度等方面关注学生对课堂整体感受，在轻松愉快的气氛中体会收获的喜悦．

反思：本节课主要内容是勾股定理的应用，它既是对直角三角形性质的拓展，

一、证明：略

也是后续学习：的基础。二、应用：

解直角三角形：

教学中应着力激发学生学习数学的兴板书设计

趣，也要注重自主探索与合作交流，同时还要注意数学思想方法的渗透，为学生今后的发展拓展了空间。

勾股定理

教 学 流 程

分环

节

课与时间

时

△设计意图

教 师 活 动

问题

10 A 学生活动

教师提出问题板演，剩下的15 ◇资源准备

□评价○反思

◇教师演示课件

△教师利用学生已有的知识创设问题情境，有针对性地B （1）求出下列直角三角形中未知的边．

A 后让四位学生活动1

4分钟

6 C B C 学生在课堂作（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m

，求AC长

业本上完成．

引导学生进行练习，为学习勾股定

学生分组讨理在实际生活中的论，自己解决；

应用做好铺垫．

△由已有的知识和

问题:

学生分组讨论

生活经验易于解答（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？

的小问题作台阶，（2）一个门框的尺寸如图1所示．

C

顺利解决如何将实活动2

①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样

际问题转化为求直220分钟

角三角形边长的问从门框通过？

第

题，培养学生的数A 1B ②若薄木板长3米，宽1.5米呢？

三学生合作交学应用意识

课

③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？

流，讨论回答：

◇教师演示课件

时

1．勾股定理的具体内容是：

。

2、两锐角之间的关系：

；

3、若D为斜边中点，则斜边中线

；

4、若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：

；

5、三边之间的关系：

。

活动3

3．△ABC的三边a、b、c，若满足b2= a2＋c2，17分钟

ADa则

=90°；

若满足b2＞c2＋a2，则∠B是

角；

若满足bc222b＜c＋a，则∠B是

角。

Eca4．根据如图所示，利用面积法证BCb明勾股定理。

学生独立思考完成

小组合作完成

◇教师演示课件

△满足不同层次学生的学习需求，拓展学生思维空间，使所学的知识得到进一步深化．

总结反思

1、本节课你有哪些收获？

布置作业

2、作业：略

4分钟

△通过小结，使学生归纳、学生对所学知识总结谈感受

进一步回顾，从而能更好的反思

反思：在教学中教师不要把教材而是要根

当成一成不变的知识，

据学生的具体情况，采取不同的一、应用：

板书设计

教学方式、方法，创造性地处理

教材，设计出符合学生实际情况

的教学过程。但宏观的指导思想不能变。

勾股定理

教 学 流 程

分环

节

课与时间

时

△设计意图

教 师 活 动

学生活动

学生思考、交流

A◇资源准备

□评价○反思

探究：（教材探究2）

析：⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。

创设情境⑵

在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理引入新课

计算OD。

4分钟

则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。

⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD。

例1．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=3，求线段AB的长。

◇教师演示课件

△运用勾股定理解决实际问题。

C

BDO合作交流

例2已知：如图，△ABC中，AC=4，∠B=45°，探究新知

∠A=60°，根据题设可知什么？

20分钟

例3（补充）已知：如图，∠B=∠D=90°，∠第四课

时

A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC=

，S△ABC=

。

2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，

学生先独立思考，在进行全班交流

A

D

E

BC

△应用勾股定理，进一步掌握勾股定理的内容。

◇教师演示课件

学生独立思考完成

AC=23cm，则∠A=

度，∠B=

度,∠C=

应用迁移度，BC=

，S△ABC=

。

小组合作完巩固提高成

3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=23，17分钟

CD⊥AB于D，则AC=

，CD=

，BD=

，AD=

,S△ABC=

。

4．已知：如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，求S△ABC。

◇教师演示课件

△通过学生操作、观察、验证，从中孕育了辅助线的添加为逻辑谁作好了铺垫。促使学生手、眼、脑等多器官的参与，从感觉到知觉，从感性到理性，实现突破。

总结反思

1、本节课你有哪些收获？

布置作业

2、思想方法归纳？

4分钟

3、作业：略

△观点提炼，回学生归纳、顾反思

总结谈感受

勾股定理

反思：

数学教育不仅要关注学生对

例3已知：如图，∠B=∠D=90°，

数学知识的获取，更应关注学生的

∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形

思维和一般能力的发展，除了基础板书设计

AABCD的面积。

知识和技能外，还包括了作为解决

D解：略

BEC问题的数学。因此在数学学习中必须为学生进一步深造提供必需的基础知识和思想方法。

教 学 流 程

分环

节

课与时间

时

△设计意图

教 师 活 动

学生活动

◇资源准备

□评价○反思

问题：

1、求以线段a、b为直角边的直角的三角创设情境学生独立完形的斜边c的长。

引入新课

（1）

a=3、b=4（2）a=2、b=6 (3)a=4、成

4分钟

b=7.5

◇教师演示课件

△创设问题情境导入新课

△由学生动手操作画图来直接感受勾股定理的逆定理成立，并由此得出结论。

◇教师演示课件

1、分别以上述a、b、c为边的三角形的形状会是什么样子的？

2、是不是只有三边长为3、4、5的三角形才能构成直角三角形呢？

证实发现：

合作交流

命题2：如果三角形的三边长分别为a，b，探究新知

222abcc满足问题：，那么这个三角20分钟

第五形是直角三角形。

课

3、勾股定理及逆定理的题设、结论分别是时

什么？

互逆命题

例：判断由线段a，b，c组成的三角形是应用迁移不是直角三角形？

巩固提高（1）a＝15 b=17 c=8

(2)a=13 b=15 c=14 17分钟

勾股数：

学生先独立思考，再进行全班交流

学生独立思考完成

小组合作完成

◇教师演示课件

△应用勾股定理的逆定理，巩固强化新知识

总结反思

1、本节课你有哪些收获？

布置作业

2、作业：略

4分钟

△通过归纳使学学生归纳、生进一步掌握知总结谈感受

识，同时也能找出疑惑和不足

勾股定理

反思：

在本节课的教学中应注意

一、逆定理：如果三角形的三边长分别

从学生的认知水平和亲身感受出发，通过创设认知冲突和数学史

222为a，b，c满足问题：abc，

的学习情境，提高学生学习数学板书设计

的积极性、学习兴趣以及人文意那么这个三角形是直角三角形。

识，让学生经历不同的学习过程。二、应用：

在活动过程中让学生动手画图、

测量、判断，猜想出一般性的结

论，然后验证结论。

教 学 流 程

分环

节

课与时间

时

△设计意图

教 师 活 动

学生活动

◇资源准备

□评价○反思

问题：

1、一个直角三角形的三边长为三个连续偶学生思考、交活动1

数，则这三边分别是多少？

已知直角三角形的两边长分别为3和5，流

4分钟

2、则第三边长为多少？

3、以上问题用到的知识你用文字表述一下

例：某港口位于东西方向的海岸线上。“远

航”号、“海天”号同时离开港口，各自沿学生先独立一固定方向航行，“远航”号每小时航行16思考，然后海里，“海天”号每小时12海里。它们离分组交流

如果知

活动2

开港口一个半小时后相距30海里。20分钟

道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海

天”号沿哪个方向航行吗？

第1、审题

六2、根据题意画出图形

课

3、解题思路是怎样的

时

1在操场上竖直立着一根长为2米的测影

竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得学生独立思它的影长为1米，则A、B、C三点能否构考完成

活动3 成直角三角形？

分另以直角三角形的三边为边向外作正

17分钟

2、方形，正三角形，为直径作半圆，若两直小组合作完角边组成图形的面积等于斜边组成图形的成

面积，则此三角形是直角三角形吗？

总结反思

1、本节课你有哪些收获？

布置作业

2、思想方法归纳？

4分钟

3、作业：

◇教师演示课件

△让学生进一步掌握勾股定理的逆定理及勾股数

△综合运用方位角、勾股定理等

知识解决实际问题，既复习了旧知识也巩固了新知识。

◇教师演示课件

◇教师演示课件

△巩固强化所学知识

△通过小结，使学生归纳、学生对所学知识总结谈感受

进一步回顾，从而能更好的反思

勾股定理

反思：纵观整节课，首先要体例：某港口位于东西方向的海岸线上。“远

现现实数学教育的思想。在现航”号、“海天”号同时离开港口，各自沿

实数学教育思想体系中，情景一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 问题和数学化是最基本、最重板书设计

海里，“海天”号每小时12海里。它们离开

要的概念。问题的产生与提出

港口一个半小时后相距30海里。如果知道

要始终立足于学生熟悉且感“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”

的现实背景之中，通过对实际号沿哪个方向航行吗？

背景的审视与分析，提出有意

义的问题，探求其结论。

教 学 流 程

分环

节

课与时间

时

△设计意图

教 师 活 动

学生活动

◇资源准备

□评价○反思

问题：

1、若一个直角三角形的一条直角边长是7，学生思考、交另一条直角边比斜边短1，则斜边长为多活动1

流

4分钟

少？

2、若直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则斜边扩大多少倍？

例1：已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C

学生先独立的对边分别是a、b、c，满足a2b2c2+338思考，再进活动2

＝10a+24b+26c，试判断△ABC的形状？

行全班交流

20分钟

例2：在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，

CD=12，AD=13，∠B＝90°，求四边形

ABCD的面积？

第

七练习：

课

1、在高5，长13的一段台阶上铺上地毯，学生独立思时

地毯的长度至少需要多少？

考完成

2、已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b

活动3 ＝4，ab=1,c=14，试判定△ABC的形状？

小组合作完17分钟

3、已知在△ABC中，CD是AB边上的高，，成

且CD2AD·BD，求证：△ABC是直角三角形。

总结反思

1、本节课你有哪些收获？

布置作业

2、思想方法归纳？

4分钟

3、作业：

◇教师演示课件

△回顾旧知，导入新课

△设置不同类型的例题，训练学生对勾股定理逆定理的应用。

◇教师演示课件

◇教师演示课件

△巩固强化所学知识，提高学生分析问题、解决问题的能力。

△通过归纳使学学生归纳、生进一步掌握知总结谈感受

识，同时也能找出疑惑和不足

勾股定理

反思：教学中应引导学生在例1：已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C 研究四边形的问题时，通常添置辅助线把它转化为研究

222的对边分别是a、b、c，满足abc+ 三角形的问题。同时要引导板书设计

学生善于观察勾股数，增强338＝10a+24b+26c，试判断△ABC的形状？

对勾股数的敏感程度，注意解：略

通过反思活动帮助学生归纳总结数学思想方法在题目中应用的规律。

教 学 流 程

分环

节

课与时间

时

△设计意图

教 师 活 动

学生活动

◇资源准备

□评价○反思

问题：

1、勾股定理的内容及其应用范围？

2、勾股定理的逆定理的内容及基本应用程序？

3、你了解勾股定理的史料吗？把自己的所回顾交流

知所得在小组内交流。

建构体系

4、勾股定理及其逆定理的与证明涉及到哪15分钟

些主要方法？

5、你了解勾股定理及其逆定理的哪些实际应用？

第八课

时

◇教师演示课件

学生思考、合

△回顾旧知，导作交流

入新课

学生先独立

思考，在进◇教师演示课件

行全班交流

◇教师演示课件

△巩固强化所学知识，提高学生分析问题、解决问题的能力。

学生独立思考完成

重温旧知

例2、在数轴上作出表示－10的点。

小组合作完加深认识

有一只鸟在一棵高4米的小树梢上捉成

26分钟

例3、虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢。那么这只鸟至少几秒才能到达大树和伙伴在一起。

总结反思

1、本节课你有哪些收获？

学生归纳、布置作业

2、作业：略

总结谈感受

4分钟

例1：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6cm，问吸管要做多长？

△通过归纳使学生进一步掌握知识，同时也能找出疑惑和不足

勾股定理

勾股定理

化归

A、数形结合

逆

逆

应用

勾股定理逆定理

板书设计

勾股定理

B、直角三角形

应用

判定直角三角形的一种方法