探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期优质课一等奖

数学备课大师

www.eywedu.net【全免费】

第四节

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用

[考纲传真] (教师用书独具)1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．

(对应学生用书第54页) [基础知识填充] 1．y＝Asin (ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)，表示一个振动量时

振幅

周期

频率

相位

ωx＋φ

初相

φ

A

T＝2π1ω

f＝＝

ωT2π2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示

x

φ－

ω0 0 π－φ2

ωπ

2π－φ

ωπ

0 3π－φ2

ω3π

2－A

2π－φ

ω2π

0 ωx＋φ

y＝Asin(ωx＋φ) A

3.由y＝sin x的图像变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图像

图3­4­1

[知识拓展] φ1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非ωφ个单位长度．

2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋＝kπ，k∈Z确定其横坐标．

“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/ π，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ2

数学备课大师

www.eywedu.net【全免费】

[基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．(

) π(2)将y＝3sin 2x的图像左移个单位后所得图像的解析式是y＝4π3sin2x＋.(

) 4πππ(3)y＝sinx－的图像是由y＝sinx＋的图像向右平移个单位得到442的．(

) (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为.(

) 2[答案]

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

T1π2．(教材改编)y＝2sinx－的振幅，频率和初相分别为(

) 32πA．2,4π，

3C．2，1π，－

4π31πB．2，，

4π3πD．2,4π，－

31ω1πC

[由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.] T2π4π3π3．为了得到函数y＝sinx＋的图像，只需把函数y＝sin x的图像上所有的点(

) 3πA．向左平行移动个单位长度

3πB．向右平行移动个单位长度

3πC．向上平行移动个单位长度

3πD．向下平行移动个单位长度

3A

[把函数y＝sin x的图像上所有的点向左平行移动π个单位长度就得到函数y＝3πsinx＋的图像．] 3π4．用五点法作函数y＝sinx－在一个周期内的图像时，主要确定的五个点是________、6“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

数学备课大师

www.eywedu.net【全免费】

________、________、________、________. π，0；2π，1；7π，0；5π，－1；13π，0

[分别令x－π＝0，π，π，63636623π，2π，即可得五个点的横坐标(纵坐标分别为0,1,0，－1,0)．] 25．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图像如图3­4­2所示，则ω＝________.

图3­4­2

3T2πππ

[由题图可知，＝－＝，

243334π2π4π3即T＝，所以＝，故ω＝.] 3ω32

(对应学生用书第55页)

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及变

换

1π

已知函数f(x)＝3sinx－，x∈R. 42(1)画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；

(2)将函数y＝sin x的图像作怎样的变换可得到f(x)的图像？ 【导学号：79140116】

[解] (1)列表取值：

x 1πx－

24π

20

0

3π

2π

23

5π

2π

0

7π

23π

2－3

9π

22π

0 f(x)

描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．

“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

数学备课大师

www.eywedu.net【全免费】

π(2)先把y＝sin x的图像向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的42倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图像．

[规律方法]

函数y＝A“五点法”作y＝Aωx＋φωx＋φA＞0，ω＞的图像的作法五点法：用的简图，主要是通过变量代换，令z＝ωx＋φ，由z取π30，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表得出五点坐标，描点，连线后得出图像22图像变换法：由函数y＝sin x的图像通过变换得到y＝Aωx＋φ的图像有两种途径：φ“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”，对于后者可利用ωx＋φ＝ωx＋确定平移单ω位. 2π[跟踪训练] (1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin2x＋，则下面3结论正确的是(

) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右π平移个单位长度，得到曲线C2

6B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左π平移个单位长度，得到曲线C2

121C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平2π移个单位长度，得到曲线C2

61D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平2π移个单位长度，得到曲线C2

12ππ(2)(2018·呼和浩特一调)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)|φ|＜向左平移个单位23长度后得到的函数是一个偶函数，则φ＝________. 2π2ππππ(1)D

(2)－

[(1)因为y＝sin2x＋＝cos2x＋－＝cos2x＋，所以332661曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，2再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移ππ个单位长度，得到曲线y＝cos 2x＋＝1212“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

数学备课大师

www.eywedu.net【全免费】

πcos2x＋.故选D．

62πππ(2)由题意得y＝sin2x＋＋φ是一个偶函数，因此＋φ＝＋kπ(k∈Z)，332πππ即φ＝－＋kπ(k∈Z)．因为|φ|＜，所以φ＝－.] 626

求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图3­4­3所示，则(

)

图3­4­3

πA．y＝2sin2x－

6πB．y＝2sin2x－

3πC．y＝2sinx＋

6πD．y＝2sinx＋

3(2)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小ππ正周期为，直线x＝是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式23为(

) πA．y＝4sin4x＋

6πB．y＝2sin2x＋＋2 3πC．y＝2sin4x＋＋2 3πD．y＝2sin4x＋＋2 6Tπππ2π(1)A

(2)D

[(1)由图像知＝－－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图像的2362π“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

数学备课大师

www.eywedu.net【全免费】

一个最高点坐标为π，2，所以A＝2，且2×π＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，故φ＝2kπ323ππ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin2x－.故选A．

66(2)由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值为4，最小值为0，可知b＝2，A＝2.由π2πππ函数的最小正周期为，可知＝，得ω＝4.由直线x＝是其图像的一条对称2ω23ππ5π轴，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z，故满足题意的是326y＝2sin4x＋＋2.] 6π

[规律方法]

确定y＝Aωx＋φ＋bA＞0，ω＞的步骤和方法求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝2π则可得ω＝M－m2，b＝M＋m2求ω：确定函数的周期T，T求φ：常用的方法有：,①代入法：把图像上的一个已知点代入此此时要注意交点在上升区间上还是时A，ω，b已知或代入图像与直线y＝b的交点求解在下降区间上口.“第一点点四点五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破即图像上升时与x轴的交点时ωx＋φ＝0；“第二点即图像的“峰π时ωx＋φ＝；“第三点2即图像的“谷点即图像下降时与x轴的交点时ωx＋φ＝π；“第3π时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π. 2[跟踪训练] (2017·石家庄一模)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图像如图3­4­4所示，则f11π的值为(

) 24

图3­4­4

A．－632

B．－

C．－

D．－1

2222π7π－π＝π，7π则ω＝＝2.又f＝2T12312D

[由图像可得A＝2，最小正周期T＝4sin7π＋φ＝－2，解得φ＝－5π＋2kπ(k∈Z)，即k＝1，φ＝π，则f(x)＝2336“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

数学备课大师

www.eywedu.net【全免费】

π11π＝2sin11π＋π＝2sin5π＝－1，故选D．] sin2x＋，f1233424

函数y＝Asin(ωx＋φ)图像与性质

的应用

(2018·合肥二检)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求函数y＝f(x)的图像的对称轴方程；

π0，(2)讨论函数f(x)在上的单调性．

2π[解] (1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sinωx－，

42π且T＝π，∴ω＝＝2. Tπ于是f(x)＝2sin2x－. 4ππ令2x－＝kπ＋(k∈Z)，

42得x＝kπ3π＋(k∈Z)，

28即函数f(x)的图像的对称轴方程为x＝kπ2＋3π(k∈Z)．

8πππ(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

242π3π得函数f(x)的单调递增区间为kπ－，kπ＋(k∈Z)．

88π因为x∈0，，令k＝0，

2π3π得函数f(x)在0，上的单调递增区间为0，；

28同理其单调递减区间为3π，π. 28ωx[规律方法]

三角函数图像与性质应用问题的求解思路,先将y＝fx化为y＝A＋φ＋b的形式，再借助y＝Aωx＋φ的图像和性质如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等解决相关问题. [跟踪训练] 设函数f(x)＝32－3sinωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)图像的2π一个对称中心到最近的对称轴的距离为. 4“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

数学备课大师

www.eywedu.net【全免费】

(1)求ω的值；

3π(2)求f(x)在区间π，上的最大值和最小值．

2[解] (1)f(x)＝＝32－3sinωx－sin ωxcos ωx

231－cos 2ωx1－3·－sin 2ωx

222π31cos 2ωx－sin 2ωx＝－sin2ωx－. 322＝π2ππ因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又ω＞0，所以＝4×，因42ω4此ω＝1. π(2)由(1)知f(x)＝－sin2x－. 33π5ππ8π当π≤x≤时，≤2x－≤，

2333所以－π33≤sin2x－≤1，则－1≤f(x)≤. 3223π3故f(x)在区间π，上的最大值和最小值分别为，－1. 22

三角函数模型的简单应用

某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)ππ＝10－3cost－sint，t∈[0,24)．

1212(1)求实验室这一天的最大温差；

(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 【导学号：79140117】

[解] (1)因为f(t)＝10－2又0≤t＜24，

ππππ7ππ所以≤t＋＜，－1≤sint＋≤1.

33123312当t＝2时，sin1π3ππt＋π，

＝10－2sin12cost＋sint3122122πt＋π＝1；

312ππ当t＝14时，sint＋＝－1. 312“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

数学备课大师

www.eywedu.net【全免费】

于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8. 故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.

(2)依题意，当f(t)＞11时实验室需要降温．

由(1)得f(t)＝10－2sin故有10－2sin即sinπt＋π，

312πt＋π＞11，

312πt＋π＜－1. 32127πππ11π又0≤t＜24，因此＜t＋＜，即10＜t＜18. 61236故在10时至18时实验室需要降温．

[规律方法]

三角函数模型的实际应用类型及解题关键

已知函数解析式，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系.

函数解析式未知时，需把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模. [跟踪训练] 如图3­4­5，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝π3sinx＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(

) 6

图3­4­5

A．5

B．6

C．8

D．10

C

[根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.] “备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/