2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案推荐

2．3.2～2.3.3

平面向量的正交分解及坐标表示

平面向量的坐标运算

学习目标

1.理解平面向量的坐标的概念；

2.掌握平面向量的坐标运算；

3.会根据向量的坐标，判断向量是否共线. ．教学重点 平面向量的坐标运算

教学难点

向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

教学设计

一、目标展示

二、自主学习

（一）复习回顾

【来源：全品…中&高*考*网】平面向量基本定理：

理解：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的

; (2) 基底不惟一，关键是

；

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，【来源：全品…分解形式 . 即λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量(二)

[读教材·填要点] 【来.源：全,品…中&高*考*网】

1．平面向量的正交分解

把一个向量分解成两个

的向量，叫做把向量正交分解．

2．平面向量的坐标表示

(1)向量的坐标表示：

在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个

i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝

，则把有序数对

叫做向量a的坐标．记作a＝

，此式叫做向量的坐标表示．

(2)在直角坐标平面中，i＝

，j＝

，0＝

3．平面向量的坐标运算

向量的加、减法

实数与向量的积

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝

，a－b＝

，即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量

的和(差) 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝

，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的

已知向量AB的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则AB＝

，即向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标

三、合作探究

探究1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？

探究2．已知向量OM＝(－1，－2)，M点的坐标与OM的坐标有什么关系？

探究3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？

探究4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？

向量的坐标

四、精讲点拨

[例1]

已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和AB与AD的坐标．

[悟一法] 向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．因此，求向量a的坐标，关键是正确求出其起点和终点的坐标．

[通一类] 1．已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|＝43，∠xOA＝60°，

(1)求向量OA的坐标；(2)若B(3，－1)，求BA的坐标．

[例2]

如图所示，已知△ABC，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求DF的坐标．

【来源：全品…中&高*考*网】

[悟一法] 1．向量的几种运算体系：

(1)向量有三种运算体系，即几何表示下的图形上的几何运算，字母表示下的运算和坐标表示下的代数运算．

(2)几何表示下的几何运算应注意三角形法则、平行四边形法则；字母表示时，注意运算律的应用；坐标运算时要牢记公式，细心计算．

2．向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．

[通一类] 2．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1, 2)，则c等于(

) 13133131A．－a＋b

B.a－b

C.a－b

D．－a＋b

22222222

[例3]

已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及OP＝OA＋tAB. (1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？

(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由．

保持例题条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？

[悟一法] 1．如果两个向量是相等向量，那么它们的坐标一定对应相等．当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与表示向量的有向线段终点的坐标相同．

2．证明一个四边形为平行四边形，可证明该四边形的一组对边所对应的向量相等．

[通一类] 3．已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．

(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标．

(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标．

五、达标检测

1．教材P100第1—3题

2．已知a＝(3,1)，b＝(－2,5)，则3a－2b等于(

) A．(2,7)

B．(13，－7)

C．(2，－7)

D．(13,13)【来源：全品…中&高*考*网】

3．(2012·广东高考)若向量AB＝(1,2)，BC＝(3,4)，则AC＝(

) A．(4,6)

B．(－4，－6)

C．(－2，－2)

D．(2,2) 4．已知a＝(－5,6)，b＝(－3,2)，c＝(x，y)，若a－3b＋2c＝0，则c等于(

) A．(－2,6)

B．(－4,0)

C．(7,6)

D．(－2,0) 5．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，已知点A(－2,0)，

B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．【来源：全品…中&高*考*网】

6．已知点A(－1,2)，若向量AB＝3a，a＝(1,3)，则点B的坐标为________．

17．已知两点M(3，－2)和N(－5，－1)，点P满足MP＝MN，求点P的坐标．2

六、课堂小结

*考*网】【来源：全品…中&高若ax1,y1，bx2,y2，则

1. abx1x2,y1y2

2. abx1x2,y1y2

3. ax1,y1

4. 已知Ax1,y1，Bx2,y2，

则ABx2x1,y2y1. ※

拓展提高（解题高手——不一样的旅程，不一样的风景，换个思维开拓视野！）

若向量|a|＝|b|＝1，且a＋b＝(1,0)，求a与b的坐标．

课后作业

教材P101第1—4题

教后反思

中&