1.认识长方形、正方形、三角形和圆ppt配套的板书设计及意图

教学内容:探索规律“钉子板上的多边形”

教学目标:

1、使学生探索并发现钉子板上围成的多边形的面积,与围成的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系,并尝试用字母式子表示关系。

2、使学生经历探索钉子板上围成的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程,体会规律的复杂性和全面性,体会归纳思维,体会用字母表示关系的简洁性,发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。

3、使学生获得探索规律成功的体验,树立学习数学的自信心,感受数学规律的奇妙,对数学产生好奇心,提高学习数学的兴趣和积极性。

教学重点:

探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系

教学难点:

综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系

教学过程:

一:创设情境,引出问题

1.引出问题

出示一个钉子板实物,并用橡皮筋围了几个多边形。

问题1:看到这个,猜猜我们今天要研究什么?(钉子板上的多边形)

师:为了研究的方便,我们通常用这样的点子图代替钉子板。每相邻两个点之间的距离都是1cm,相邻4个点围成的图形面积是1cm ²。

问题2:这里有几个不同的多边形,你想研究多边形的什么呢?

师:下面首先请大家数数图形边上的钉子数,再看看面积各是多少平方厘米?

让学生数出钉子数和面积,全班交流,感受钉子数增加面积也增加。

提问:你发现钉子数增加时,面积怎样变化的?这里多边形的面积变化与什么有关?

2. 引入课题。

谈话:通过钉子数和面积,大家感受面积大小与围多边形用的钉子数有关。那钉子板上多边形的面积还与哪里的钉子数有关,到底有着怎样的关系呢?这节课我们就来研究这个问题。(板书课题:钉子板上的多边形)

二、分层探索,发现规律

(一)引导尝试,初步感知。

1. 出示下图,引导学生观察。

引导:请大家观察下面的多边形,按要求数一数,完成表格一。

(1)数一数或算一算每个多边形的面积各是多少平方厘米;

(2)数一数每个多边形边上的钉子各有多少枚;

(3)想一想多边形的面积和边上的钉子数有怎样的关系。

2. 学生交流,完成表格一。

3. 观察数据,比较发现。

引导:你能看出这些多边形的面积和边上钉子数的关系吗?同桌先说一说。

说明:为了更简洁、方便地表示出这个规律,我们可以用字母来表示。如果用n表示多边形边上的钉子数,用S表示多边形的面积,那上面发现的这个规律就可以表示为S=n÷2(板书:S=n÷2)。

4. 观察比较,反思质疑。

引导:是不是所有的钉子板上多边形的面积和它边上的钉子数都有这样的关系呢?我们再来看一组图形,看看是不是也有这样的关系。交流:你数的哪一个,结果怎样?(结合交流对应板书面积和钉子数)追问:现在多边形的面积和边上钉子数还有刚才发现的规律吗?

提问:这是为什么呢?回过去再看第一组多边形,它们还有什么共同的地方吗?找找看。第二组和它们有什么不同?

小结:第一组符合规律的多边形内部的钉子数都为1,第二组多边形内部的钉子数是2。这说明多边形的面积不仅和多边形边上的钉子数有关,还与多边形内部的钉子数有关。刚才我们只是研究了内部钉子数为1的情况。

说明:如果用a表示多边形内部的钉子数,那当a=1时,S=n÷2。(补充板书:a=1)

(二)继续研究,拓展认识。

1. 提出问题,引发思考。

引导:如果多边形内部都有2枚钉子,多边形面积与它边上的钉子数又有什么关系呢?现在请大家进一步观察,填写表格二,看看有没有规律。

2.填写表格二,探究规律。

观察表格中的数据,小组讨论交流:你有什么发现?

3. 交流引导,发现规律。

出示表格,指名学生交流结果,在表格里呈现。

引导:我们刚才已经知道,这里的面积不等于n÷2,但和n÷2有点什么关系呢?同桌互相讨论,看看有什么发现。

提问:通过数据比较,你有什么发现?

小结:通过这里的多边形的比较,可以发现,当多边形内部钉子数a=2时,面积S=n÷2+1。(板书:a=2 S=n÷2+1)

(三)引导猜想,概括规律。

1. 引发学生猜想。

提问:上面发现图形内部钉子数a=1时,S=n÷2;a=2时,S=n÷2+1。你能联系这里的规律,猜一猜,如果多边形内部有3枚钉子,它的面积与边上钉子数又有怎样的关系呢?先想一想,再告诉大家你的猜想。交流:你猜想的规律是怎样的?(板书:a=3 S=n÷2+2?)

2.验证猜想。

出示第三组图形,验证上面的猜想。

交流:学生填写表格三,验证的结果有什么结论?(指明学生呈现表格验证结论)

确认:当多边形内钉子数是3时,面积S就等于n÷2+2 。(擦除上面板书中的“?”)

追问:现在我们又有什么发现?

3. 拓展延伸,揭示规律。

引导学生观察关系式:a=1 S=n÷2

a=2 S=n÷2+1

a=3 S=n÷2+2

引导:你觉得如果a=4,会有什么规律?那你能画一画、算一算来验证吗?自己画图验证。指名学生交流,呈现不同例子的图形用数据验证,并板书关系式。

提问:你现在能发现钉子板上多边形面积的规律了吗?

指出:如果用a表示多边形内部的钉子数,n表示多边形边上的钉子数,那么,多边形的面积S就等于边上的钉子数n除以2,再加上内部的钉子数a,然后减1。(板书:S=n÷2+a-1)

验证:当a=0或a=1的时候,也符合这样的规律吗?我们找几个图形来看一看。呈现几个相应的图形数一数,发现:

当a=0时,可以看作S=n÷2+0-1,符合规律;

当a=1时,可以看作S=n÷2+1-1,同样符合规律。

追问:通过对钉子板上多边形的研究,我们发现了什么规律?请大家说出这个规律。

4. 适当介绍,拓展视野。

说明:我们今天研究的规律,就是数学上著名的皮克定理。有兴趣的同学,可以阅读练习册第71页了解皮克定理。如果有进一步认识的要求,那记住这本书:闵酮鹤的著作《格点和面积》,以后有兴趣、有条件了,可以去阅读。

三、回顾过程,交流体会。

小结:今天我们从各种不同的图形入手,经历观察、比较、猜想、验证等活动,发现了不同多边形中的共同点,不同关系式中的共同点,找到了规律,同时也明白了表示数学规律一般用含有字母的式子,它具有简洁、明了、易记的特点。