2.3.1 变量之间的相关关系优质课教案

《变量间的相关关系》教学设计

教学目标：

1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系. 2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 教学重点：

散点图，线性回归直线方程

教学重点：

线性回归直线方程

教学过程：

函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系。在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题。”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？

创设情境，引入相关思想

思考：考察下列问题中两个变量之间的关系：

（1）商品销售收入与广告支出经费；

（2）粮食产量与施肥量；

（3）人体内的脂肪含量与年龄.

这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？

得出结论“变量间的相互关系是不确定的，它受很多不确定的因素影响”

在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据，根据上述数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系? 为了更直观地反映这两个变量间的变化趋势,我们可以作图.如果以x轴表示年龄,以y轴表示脂肪含量.画出上述表格中数据的草图。

结论：此时我们作出的图,称为散点图.从散点图你可以观察出随着年龄越大,相应的体内脂肪含量的变化趋势是什么? 我们可以看到这些点的散布也是有特点的.它们散布在从左下角到右上角的区域.对于两个变量的这种相关关系,我们称为正相关.若它们散布在从左上角到右下角的区域内,我们称为负相关

学生举例说明

上述问题中,从散点图可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线

得出“回归直线”定义。

如果能够求出这条回归直线的方程，简称回归方程，那么我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性.就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样,这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表.那么我们应当如何具体求出这个回归方程呢? 可以设计了如下三种方案: (1)采用测量的方法,先画一条直线,测量出各点到它的距离,然后移动直线,到达一个使距离之和最小的位置,测量出此时直线的斜率和截距,就得到回归方程.

(2)在图中选取两点画直线,使得直线两侧的点的个数基本相同. (3)在散点图中多取几组点,确定直线的方程,分别求出各条斜率和截距的平均数,将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距. 请问这些方法真得可行吗? 上面这些方法虽然有一些道理,但总让人感到可靠性不强

学生自己动脑解决问题

求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画”从整体上看,各点与此直线的距离最小” .假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), …,(xn,yn),下面探讨如何表达这些点与一条直线y=kx+b之间的距离. 问题即转化为求的最小值时b,a的取值. 经过数学上的推导,的值由下列公式给出

这种使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法

回归直线方程的求法

1、利用计算机求回归方程（Excel软件）：在Excel的工作表中添加“图表”得到散点图后，用鼠标选中散点，单击鼠标右键，单击“添加趋势线”，在出现的对话框中单击类型标签，选择“线型（L）”，单击“选项”标签，选中“显示公式”单选框，最后点击“确定”即可.如上例可得图2－3－3.

2、电脑电子表格法：

利用科学计算器求回归方程：大多科学计算器都有回归计算（REG模式），但不同的计算器参数可能不同，这里不作详细介绍，一般在输入数据后按相应按键可直

接得到a和b，这样就可以写出回归方程=bx+a，非常简便，使用前一定要看好计算器的使用说明书. 3、计算器法

设计亮点：

本节课教师和学生普遍不重视，仅仅记住结论就算过关了，但是本单元有关数学应用的思想对学生问题解决非常有益处，同时本节课对技术性也要求非常高。

1．对于两个变量之间的关系，有函数关系和相关关系两种，其中函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系. 2．散点图能直观反映两个相关变量之间的大致变化趋势，利用计算机作散点图是简单可行的办法. 3.一般情况下两个变量之间的相关关系成正相关或负相关，类似于函数的单调性. 4. 回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近.对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性. 5. 对于任意一组样本数据，用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程。

教学小结：

经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。