2.3.1 变量之间的相关关系优秀教案

2.3.2 两个变量的线性相关

【三维目标】

1．通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因；

2．通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法；

3．能求出简单实际问题的线性回归方程。

【重点难点】

线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法。【教学过程】

探究一：求线形回归方程来源学科网ZXXK]来源学#科#网

例1：下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据

x

y

(1)请画出上表数据的散点图；

3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 ˆxaˆbˆ；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

(参考数值：3×2．5+4×3+5×4+6×4．5=66.5)

解

（1）略。由学生自己完成。

（2）由对照数据，计算得：

xyii14i66.5

xi142i3242526286

ˆ66.544.53.50.7

;

x4.5,b8644.52ˆx3.50.74.50.35

ˆyba

所求的回归方程为

y0.7x0.35

(3)

当x100,

y1000.70.3570.35吨,

预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65(吨)

反思：讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映x与y之间的关

系，y的值不能由x完全确定，它们之间是统计相关关系，y的实际值与估计值之间存在着误差．对于上述问题，设有n对观测数据xi,yi(i1,2,3,,n)，根据线性回归模型，对于每一个xi，对应的随机误差项iyiabxi，我们希望总误差越小越好，即要使i1n2i越小越好．所以，只要求出Q,yi1nixi取得最小值时的2ˆ。这种求线形回归方程的方法叫最小二乘法。

ˆ,b,值作为a,b，的估计值，记为a探究二：线形回归直线过样本中心点（此处是高考命题的一个常用点）

例、某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了

5次试验。ˆ0.67x54.9

根据收集到的数据(如下表）由最小二乘法求得回归方程y零件数x(个) 加工时间ymin

10 62来源学#科#网20

30 75来源学科网ZXXK]40

81 50 89 例：某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表

广告费用x（万元）

销售额y（万元）来源:Z§xx§k.Com]4

49 2 26 3来源学科网

5 54 39 ˆ为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售ˆxaˆbˆ中的b

根据上表可得回归方程y额为

_____

ˆ的关系

探究四：正确区分线性相关系数r与回归方程的斜率b

线性相关系数r反映的是两个变量间相关关系的强弱，

可见，一条回归直线有多大的预测功能和变量间的相关系数密切相关．

在一组样本数据x1,y1,x2,y2,,xn,yn（n2,x1,x2,,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点xi,yii1,2,,n都在直线y为_____

1x1上，则这组样本数据的样本相关系数2来源学科网探究五：如何判断线性回归方程拟合的好坏

1．用残差的平方和

例已知x,y之间的一组数据如下表：

x

y

1 1 3 2 6 3来源学_科_网7

4 8 5 （2）对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y211x1与yx1，试根32据残差平方和：yi1niˆ的大小,判断哪条直线拟合程度更好。

y解析：用y1x1作为拟合直线时，所得y的实际值与y的估计值的差的平方和为：3410117S1(1)2(22)2(33)2(4)2(5)23333．

用y1x1作为拟合直线时，所得y的实际值与y的估计值的差的平方和为：2791S2(11)2(22)2(3)2(44)2(5)2222．

S2S1，故用直线y1x1拟合程度更好

。

2

2.用线性相关指数判断

在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它们的相关指数R如下，2其中拟合效果最好的为（

）

A模型①的相关指数为0.976

B模型②的相关指数为0.776

C模型③的相关指数为0.076

D模型④的相关指数为0.351

上面两种方法从本质上是一致的。

五、【课堂小结】

理解相关系数和相关指数所表达的含义。

六、【教学后记】