探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教案设计

第四节

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

[考纲传真]

1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．

1．y＝Asin (ωx＋φ)的有关概念

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示

3.由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象

先平移后伸缩

先伸缩后平移

⇓

⇓

1

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．(

) π(2)将y＝3sin 2x的图象左移4个单位后所得图象的解析式是y＝π3sin2x＋4.(

) (3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．(

) (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中T心之间的距离为2.(

) [答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

π2．(2016·四川高考)为了得到函数y＝sinx＋3的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点(

) πA．向左平行移动3个单位长度

πB．向右平行移动3个单位长度

πC．向上平行移动3个单位长度

πD．向下平行移动3个单位长度

2

πA

[把函数y＝sin x的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度就得到函π数y＝sinx＋3的图象．] 3．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图3-4-1，则ω＝(

)

图3-4-1 A．5

C.3

B.4

D.2 TππB

[由图象可知，2＝x0＋4－x0＝4，

π2π所以T＝2＝ω，所以ω＝4.] π4．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(

) 3πA.4

C.0

πB.4

πD.－4

πB

[把函数y＝sin(2x＋φ)沿x轴向左平移8个单位后得到函数y＝sin ππφπ2x＋2＋8＝sin2x＋φ＋4为偶函数，则φ的一个可能取值是4.] 5．(教材改编)电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数关系式是I＝π5sin100πt＋3，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的初相、周期分别是________．

π1π2π1，

[由初相和周期的定义，得电流I变化的初相是，周期T＝＝3503100π50.]

3

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图

1π

已知函数f(x)＝3sin2x－4，x∈R. (1)画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；

(2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？

[解]

(1)列表取值：

x 1π2x－4

f(x)

π2

0

0

32π

π2

3

52π

π

0

72π

32π

－3

92π

2π

0 象及变换

描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图.5分

π(2)先把y＝sin x的图象向右平移4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象.12分

[规律方法]

1.变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩φ后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ωx＋ω确定平移单位．

π2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，2，3π，2π，2π来求出相应的x，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．

π1[变式训练1]

(1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin2x＋6的图象向右平移4个

4

周期后，所得图象对应的函数为(

) π2x＋A．y＝2sin

4πC．y＝2sin2x－4

π2x＋B.y＝2sin

3πD.y＝2sin2x－3

(2)(2016·全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－3cos x的图象可由函数y＝sin x＋3cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．

ππ2π(1)D

(2)3

[(1)函数y＝2sin2x＋6的周期为π，将函数y＝2sin2x＋6的1π图象向右平移4个周期即4个单位长度，所得图象对应的函数为y＝πππx－4＋＝2sin2x－3，故选D. 2sin26ππ(2)因为y＝sin x＋3cos x＝2sinx＋3，y＝sin x－3cos x＝2sinx－3，所2πππ以把y＝2sinx＋3的图象至少向右平移3个单位长度可得y＝2sinx－3的图象．] 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解

析式

(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象

图3-4-2 如图3-4-2所示，则(

) πA．y＝2sin2x－6

πB．y＝2sin2x－3

πC．y＝2sinx＋6



5

πD．y＝2sinx＋3



(2)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最ππ小正周期为2，直线x＝3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为(

) πA．y＝4sin4x＋6

πB．y＝2sin2x＋3＋2 πC．y＝2sin4x＋3＋2 πD．y＝2sin4x＋6＋2 Tπππ2π(1)A

(2)D

[(1)由图象知2＝3－－6＝2，故T＝π，因此ω＝π＝2.又图πππ象的一个最高点坐标为3，2，所以A＝2，且2×3＋φ＝2kπ＋2(k∈Z)，故φ＝ππ2kπ－6(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin2x－6.故选A. (2)由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值为4，最小值为0，可知b＝2，A＝π2πππ2.由函数的最小正周期为2，可知ω＝2，得ω＝4.由直线x＝3是其图象的一条对ππ5π称轴，可知4×3＋φ＝kπ＋2，k∈Z，从而φ＝kπ－6，k∈Z，故满足题意的是yπ＝2sin4x＋6＋2.] [规律方法]

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法

(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝2π(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝T；

(3)求φ：常用的方法有：

M－mM＋m，b＝；

22

6

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)π时ωx＋φ＝2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四3π点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝2；“第五点”时ωx＋φ＝2π.

[变式训练2]

(2017·石家庄一模)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部11π分图象如图3-4-3所示，则f24的值为(

) 

图3-4-3 6A．－2

2C.－2

3B.－2

D.－1 2π7ππ7πD

[由图象可得A＝2，最小正周期T＝412－3＝π，则ω＝T＝2.又f125ππ7π＝2sin6＋φ＝－2，解得φ＝－3＋2kπ(k∈Z)，即k＝1，φ＝3，则f(x)＝2π11π5π11ππsin2x＋3，f24＝2sin12＋3＝2sin4＝－1，故选D.] 函数y＝Asin(ωx＋φ)图

象与性质的应用

ππ－x

(2016·天津高考)已知函数f(x)＝4tan xsin2·cosx－3－3. (1)求f(x)的定义域与最小正周期；

ππ(2)讨论f(x)在区间－4，4上的单调性．

[解]

π(1)f(x)的定义域为xx≠2＋kπ，k∈Z

.2分

7

πf(x)＝4tan xcos xcosx－3－3 π＝4sin xcosx－3－3 13＝4sin xcos x＋sin x－3 22＝2sin xcos x＋23sin2x－3 ＝sin 2x＋3(1－cos 2x)－3 π＝sin 2x－3cos 2x＝2sin2x－3. 2π所以f(x)的最小正周期T＝2＝π.6分

πππ(2)令z＝2x－3，则函数y＝2sin z的单调递增区间是－2＋2kπ，2＋2kπ，k∈Z. πππ由－2＋2kπ≤2x－3≤2＋2kπ，

π5π得－12＋kπ≤x≤12＋kπ，k∈Z.8分

π5πππ设A＝－4，4，B＝x－12＋kπ≤x≤12＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝

ππ－12，4. ππππππ－，－，－，－所以当x∈44时，f(x)在区间124上单调递增，在区间412上单调递减.12分

[规律方法]

讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．

3[变式训练3]

设函数f(x)＝2－3sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)π图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4.

【导学号：01772119】

(1)求ω的值；

8

3π(2)求f(x)在区间π，2上的最大值和最小值．

3[解]

(1)f(x)＝2－3sin2ωx－sin ωxcos ωx

1－cos 2ωx13＝2－3·－2sin 2ωx

2π31＝2cos 2ωx－2sin 2ωx＝－sin2ωx－3.3分

π2π因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4，又ω＞0，所以2ω＝π4×4，因此ω＝1.5分

π(2)由(1)知f(x)＝－sin2x－3.6分

3π5ππ8π当π≤x≤2时，3≤2x－3≤3，

π33所以－2≤sin2x－3≤1，则－1≤f(x)≤2.10分

3π3故f(x)在区间π，2上的最大值和最小值分别为2，－1.12分



三角函数模型的简单应用

某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函ππ数关系：f(t)＝10－3cos12t－sin12t，t∈[0,24)．

(1)求实验室这一天的最大温差；

(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？

3π1π[解]

(1)因为f(t)＝10－2cost＋sint

122122ππ＝10－2sin12t＋3，2分

又0≤t＜24，

ππππ7ππ所以3≤12t＋3＜3，－1≤sin12t＋3≤1.4分

ππ当t＝2时，sin12t＋3＝1；



9

ππ当t＝14时，sin12t＋3＝－1. 于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8. 故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.6分

(2)依题意，当f(t)＞11时实验室需要降温．

ππt＋由(1)得f(t)＝10－2sin123，

ππ故有10－2sin12t＋3＞11，

π1π即sin12t＋3＜－2.9分

7πππ11π又0≤t＜24，因此6＜12t＋3＜6，即10＜t＜18. 故在10时至18时实验室需要降温.12分

[规律方法]

1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．

2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．

[变式训练4]

(2015·陕西高考)如图3-4-4，某港口一天6时到18时的水深π变化曲线近似满足函数y＝3sin6x＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(

)

图3-4-4 A．5

C.8

B.6

D.10 C

[根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.]

10

[思想与方法] 1．由图象确定函数解析式

由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点．

2．对称问题

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．

[易错与防范] 1．要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．

2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．

3．由y＝sin x的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平|φ|移的量是ω(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．

4．函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y＝Asin t的值域．

11