2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计(第一课时)

课题

2.2.2

平面向量的正交分解及坐标表示

知识目标：使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程（几何表示---线性表示---坐标表示），会写出直角坐标系内给定的向量坐标，会作出已知坐标表示的向量；

能力目标：通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；

情感目标：在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。

教学程序设计

复习旧知

引出新知

课时

1课时

教学目标设计教学方法设计渗透从特殊到一般的化归，数形结合的思想. 设置铺垫，蓄势成渠，注意过程分析.

复习引入

(2)基底不惟一，关键是不共线；

确定的数量

问题预设：

思路一：用一个数能否表示向量？

思路二：用两个数能否表示向量？

教材处理设计

知识铺垫1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内学生积极思考，回答教师提出的问题。

的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且

只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量

的一组基底；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一（不能，因为向量既有大小，又有方向）

在平面直角坐标系内，一个点和一对有序实数对之间有一一

对应的关系，那么，向量是否也能找到与之对应的实数呢？

师生活动设计



概念形成

师生互动，抓住函数概念这一重点，举出实例来突破理解对应法则f这一难点。

教材解读：探究一：如图，i,j为互相垂直的单位向量，请用

学生独立思考后，分组讨论、交流，教师巡视，关注学生谈论的情况。

教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举与位移一样的一些量. y4

b3 2 1 aj－－－－－

O －－－i1 2 3 4 5 xcd

－i,j表示图中的向量a,b,c,d.

请学生动手完成并回答：

根据向量加法的几何意义，我们只要把a分解在i,方向上，就可得到：

j的a3i3j，同理可得bi2j

c3i3j

d4i2j

我们用i,j来表示a的这种形式是否唯一？根据是什么？（提问学生）

由此复***面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a=1e12e2，其中的e1，e2称为平面的一组基底.



概念深化

加强学生对概念的理解

强调：基底不唯一，只要不共线，就可作为基底，而一旦基底选定，任一向量在基底方向的分解形式就是唯一的. 推广到平面内的任意向量，我们怎样来定义向量的坐标？如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底任作一个向量a，由平引导学生思考，请学生尝试给出定义）

面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

1

axiyj…………○我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

a(x,y)………2

…○2其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○式叫做向量的坐标表示

起点在原点的向量其坐标就是其终点的坐标. 相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量.

探究二： (1)已知

a(x1,y1),b(x2,y2),求

ab,ab的坐标. (2)已知a(x,y)和实数,求a

的坐标.（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：

ab(x1x2,y1y2)a(x1,y1),b(x2,y2)）

（其中（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标：

若a(x,y)，则a(x,y)；



教学程序设计

教材处理设计

师生活动设计

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去

教师先分析每个例题，

始点的坐标.

学生分组讨论，然后自巩固练习

己独立解答，最后通过在整个交流讨论中，大屏幕展示规范的解题练习1 .已知a(2,1),b(3,4),求ab,ab,3a4b

的坐标.

教师既有对正确认识的格式，培养解题规范的赞赏，又有对错误见解的习惯。

分析。

(1)已知A(2,3),B(3,5),求BA

的坐标.

帮助学生巩固所学知识，反馈课堂教学效果。

小结

1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示. 2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图. 课后作业

课本习题A.B

归纳总结

板书设计2.2.2

平面向量的正交分解及坐标表示

主板书

一预习问题

二概念

三

例题

副板书

小测：

设e1与e2是两个不共线向量,a=3e1+4e2,b=-2e1+5e2,若实数λ、μ满足λa+μb=5e1-e2,求λ、μ的值.

课后反思

教师应该多提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题.