2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示特级教师教学实录

2.3.1 平面向量基本定理

2.3.2 平面向量的正交分解与坐标表示

【教学目标】

1.知识与技能：

(1).了解平面向量的基本定理及其意义；

(2).理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示; (3).掌握平面向量正交分解。

2.过程与方法：

(1).初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

(2).能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达。

3.情感态度价值观：

通过平面向量的正交分解，揭示图形（向量）与代数（坐标）之间的联系。

【教法指导】

1．教学重点

平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解；

2．教学难点 平面向量基本定理的运用. 【教学过程】

☆情境引入☆

1．在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？

2.问题：如图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系.

☆探索新知☆

1.给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量b=3e1+2e2、c=e1-2e2.

e1

e2

2.由1.可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2来表示向量b,c那么

平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢? 都可以

3.平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1,2，使a1e12e2。

我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

注意：1 e1、e2必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底；

2 这个定理也叫共面向量定理；

3 λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量。

4.思考：(1).若a0或a与e1(e2)共线，1,2取何值？ a0时，120；a与e1共线时，20；a与e2共线时，10.

(2).平面内用来表示一个向量的基底有多少组？

有无数组

(3).若基底选取不同，则表示同一向量的实数1,2是否相同？

可以相同,也可以不同

5.平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？

平面中的任意两个向量之间都存在夹角。向量的夹角与直线的夹角不一样。

已知两个非零向量a和b (如图),作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角. 注意：（1）.两向量必须是同起点的。

（2）.当θ=0°时, a与b同向;当θ=180°时, a与b反向.夹角范围：[00,1800]。

a与b垂直，记作ab. （3）.90时，6.思考：（1）.对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？

可以

(2).把任意一个向量用两个互相垂直的向量来表示会给解决问题带来哪些方便? 可以与平面直角坐标系、坐标练习起来。

7.平面向量的正交分解定义: 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解

8.平面向量的坐标表示：

在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个不共线向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量0a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝xi+yj，则把有序数对（i，j），叫做向量a的坐标．记作a＝（i，j），此式叫做向量的坐标表示．

说明：以原点O为起点作OAa，设OAxiyj，则向量OA的坐标（x,y）就是向量终点A的坐标。

【例题讲解】

例1．已知向量e1、e2 (如图),求作向量-2.5e1+3e2

★思路点拔：

1．怎样作向量-2.5e1、3e2？

2．向量加法应用什么法则？

★解答过程：

解：作法：1

取点O，作OA=2.5e1 OB=3e2 2

作 OACB，OC即为所求

CBN A O 例2．如图，用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标

★思路点拔：

向量a,b,c,d用基底向量i , j怎么表示?

★解答过程：

【解析】:由图可知,a=AA1+AA2=xi+yj, ∴a=(2,3). 同理,b=-2i+3j=(-2,3); c=-2i-3j=(-2,-3); d=2i-3j=(2,-3).

【课堂练习】

1、若e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为基底的是（ ）

A.e1e2和e1e2；B.3e12e2和8e212e1；C.e13e2和e22e1；D.e2和e1e2；★解答过程：

2. 设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，

b的线性组合，即e1＋e2＝________.

★解答过程：

【解析】

因为a＝e1＋2e2

①，b＝－e1＋e2

②

显然a与b不共线

a＋b①＋②得a＋b＝3e2 所以e2＝代入②得

3a＋b1212ab21e1＝e2－b＝－b＝a－b 故有e1＋e2＝a－b＋＋＝a－b。

333333333☆课堂提高☆

1.下列关于基底的说法正确的是 （ ） .平面内不共线的任意两个向量都可以作为一组基底；.基底中向量可以是零向量； .平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解也是唯一确定的。

A. B. C. D. 

【答案】C.

【解析】基底必须为不共线的非零向量，所以错；根据平面向量基本定理知对。故选C. →→2.如图，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若AB＝a，AD＝b，用a、b表→示AG＝(

)

11A．a＋b

4431C．a－b

44【答案】

D 11B．a＋b

3333D．a＋b

44

3．在等边三角形中，AB与BC的夹角= 。

【答案】120.

【解析】

AB与BC的起点不同，其夹角为角B的补角，等于1200.

→→→→4．在△ABC中，点D在边CB的延长线上，且CD＝4BD＝rAB－sAC，求s＋r的值．

8【答案】

3→→→4→【解析】如图所示，由题意，得CD＝4 BD，∴CD＝CB。

34→4→→→→→4→→又∵CB＝AB－AC，∴CD＝(AB－AC)＝AB－AC. 33348∴r＝s＝.∴s＋r＝. 33☆课堂小结☆

1、平面向量基本定理、两向量的夹角；

0

2、对基本定理的理解

(1)基底不唯一，关键是不共线；

(2)实数对1,2的存在性和唯一性。

3、向量的坐标的概念；

4、应用定理的关键是掌握向量的加法法则和向量共线定理。

☆课后作业☆

1.

ABCD,AB=a,AD=b,H、M是AD、DC之中点,F使BF=1BC,以a,b为基底分解向量AM和HF. 3