2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示PPT配套教学设计内容

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

教材分析

向量作为一种数学工具，在中学数学中向量的优势更多地体现在沟通几何与代数，并将几何及其它的一些问题通过代数运算来研究,这样一个思辨的过程变为了一种程序化的操作过程. 向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算.向量基本定理的研究综合了前面的向量知识，同时又为后继的内容作了奠基，这就决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位。本节课从力的正交分解入手，通过向量的夹角的引入得出向量的坐标表示。

教学目标

1.

理解掌握平面向量的的正交分解及其坐标表示. 2.

掌握正交分解下向量的坐标表示，认识平面向量基本定理是实现向量由几何形式过渡到代数形式的桥梁. 3.

通过本节课的学习，了解先关数学知识的来龙去脉，认识其作用和价值，培养学生的探索研究能力. 重点:

正交分解下向量的坐标表示.

难点：正交分解下向量的坐标表示. 教具准备 多媒体课件和三角板

课堂模式 学案导学

一、复习引入

1.平面向量基本定理：

若e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

2.如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？

F1

F2

G

53.在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论.

【设计意图】复习回顾，设置物理情境，便于学习新知．

【设计说明】学生探究回答．

二、探究新知

1

平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？

【设计意图】进一步探究几个关键点：

(1) 我们把不共线向量e1 ,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2) 基底不惟一，关键是不共线；

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e1 ,e2的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式惟一.

1 ,2是被a ,e1 ,e2唯一确定的数量．

．

【设计说明】注意引导鼓励大家去发现，大家可能探究不是很全面，可以小组讨论．

探究(一):平面向量的正交分解及坐标表示

思考1：不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量a和b，作

a，

b，如图.为了反映这两个向量的位置关系，称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？

思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.

互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？

思考3：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？

B

P

a

j

i

O A

a=23i+2j

【设计意图】通过思考，逐步引导大家体会平面向量基本定理的应用．在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，体会这样给问题研究带来的方便．

【设计说明】引导大家自主探究．

思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

a＝xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量a的坐标表示.那么x、y的几何意义如何？

y

y j

O a

2 x x

思考5：相等向量的坐标必然相等，作向量OAa，则OA

(x，y)，此时点A是坐标是什么？

【设计意图】通过思考，体会平面内的向量与坐标建立一一对应，从而实现向量的“量化”，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想．

【设计说明】充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标.．

四、运用新知

例1 ：如图2.3-9，分别用基底i、j表示向量a，b，c，d

并求出它们的坐标. uuuruuuur解：由图可知a=AA1+AA2=2i+3j

所以a=（2，3）. 同理，b=-2i+3j=（-2，3）; c=-2i-3j=（-2，-3）; d=2i-3j=（2，-3）. 【设计意图】设置提问：引导学生看图分析，让学生能够通过这些问题，弄清向量的坐标表示及应用．

【设计说明】师生共同分析，抓住关键，提问学生看图回答．

例2 ：在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．

→→→【解】

设OA＝a，OB＝b，OC＝c，

→→→又∵|OA|＝|a|＝2，|OB|＝|b|＝3，|OC|＝|c|＝4.

333，C(23，－2)，

∴A(2，2)，B－，22333，c＝(23，－2)

∴a＝(2，2)，b＝－，22五、课堂检测：

→1.已知O是坐标原点，点A在第一象限,|OA|＝43，∠xOA＝→60°，求向量OA的坐标．

3

六、课堂小结 1.平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点. 2.向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是0°或180°，垂直向量的夹角是90°. 3.向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义.将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标. 教师总结:

体会平面向量坐标表示给问题解决带来的方便，体会其中转化的思想。提醒学生：在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏，从而更好地运用知识，解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．

【设计意图】进行适时小结，让学生对这次课的学习有个系统的认识，加深学习印象．

六、布置作业 1．同步作业

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