复习参考题教学内容分析

1．向量的有关概念

名称

向量

零向量

单位向量

平行向量

共线向量

相等向量

相反向量

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义) 运算律

(1)交换律：

求两个向量和的运算

a＋b＝b＋a.

(2)结合律：

(a＋b)＋c

求a与b的相反向减法

量－b的和的运算叫做a与b的差

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ>0时，λa的方数乘

求实数λ与向量a的积的运算

向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. 【思考辨析】

(1)λ(μa)＝(λμ)a；

(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb

a－b＝a＋(－b) ＝a＋(b＋c)．

定义

既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)

长度为0的向量；其方向是任意的

长度等于1个单位的向量

方向相同或相反的非零向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量

长度相等且方向相同的向量

长度相等且方向相反的向量

两向量只有相等或不等，不能比较大小

0的相反向量为0 0与任一向量平行或共线

备注

平面向量是自由向量

记作0 a非零向量a的单位向量为±

|a|加法

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(

×

) (2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(

√

) (3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(

×

) →→(4)向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(

×

) (5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(

√

) →1→→(6)△ABC中，D是BC中点，则AD＝(AC＋AB)．(

√

) 2

1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝→→b；③向量AB与BA相等．则所有正确命题的序号是(

) A．①

C．①③

答案

A 解析

根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方→→向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB与BA互为相反向量，故③错误．

2．如图所示，向量a－b等于(

) B．③

D．①②

A．－4e1－2e2

C．e1－3e2

答案

C →解析

由题图可得a－b＝BA＝e1－3e2. →→3．(2015·课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则(

) 1→4→→A.AD＝－AB＋AC

33→4→1→C.AD＝AB＋AC

33答案

A →1→4→B.AD＝AB－AC

33→4→1→D.AD＝AB－AC

33B．－2e1－4e2

D．3e1－e2

→→→→→→解析

∵BC＝3CD，∴AC－AB＝3(AD－AC)，

1→4→→→→→即4AC－AB＝3AD，∴AD＝－AB＋AC. 33→→→4．(教材改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，→BC＝________(用a，b表示)．

答案

b－a

－a－b

→→→→解析

如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，

→→→→→BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b. 5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________. 1答案

－

3解析

由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，

λ＝－k，∴解得3k＝1.

1k＝3.1λ＝－，3

题型一

平面向量的概念

例1

下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

→→③向量AB与向量CD共线，则A、B、C、D四点共线；

④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．

答案

④

解析

①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；

②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；

③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；

④正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小．

思维升华

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，aa不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向|a||a|量．

设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(

) A．0

C．2

答案

D 解析

向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. B．1 D．3 题型二

平面向量的线性运算

命题点1

向量的线性运算

→→例2

(1)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC等于(

) →A.BC

→C.AD

1→B.AD

21→D.BC

2→→→→→(2)在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD等于(

) 21A.b＋c

3321C.b－c

33答案

(1)C

(2)A →→1→→1→→解析

(1)EB＋FC＝(AB＋CB)＋(AC＋BC) 221→→→＝(AB＋AC)＝AD. 2→→(2)∵BD＝2DC，

→→→→→→∴AD－AB＝BD＝2DC＝2(AC－AD)，

→→→∴3AD＝2AC＋AB，

→2→1→21∴AD＝AC＋AB＝b＋c. 3333命题点2

根据向量线性运算求参数

52B.c－b

3312D.b＋c

33

→→→1→→例3

(1)在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ等于3(

) 2A.

31C．－

31B.

32D．－

3→→(2)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D→→→不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是(

) 10，

A.21－，0

C.2答案

(1)A

(2)D →→→→→→解析

(1)∵AD＝2DB，即CD－CA＝2(CB－CD)，

2→1→2→∴CD＝CA＋CB，∴λ＝. 333→→(2)设CO＝yBC，

→→→∵AO＝AC＋CO

→→→→→＝AC＋yBC＝AC＋y(AC－AB) →→＝－yAB＋(1＋y)AC. →→∵BC＝3CD，点O

在线段CD上(与点C，D不重合)，

1→→→0，，∵AO＝xAB＋(1－x)AC，

∴y∈31－，0. ∴x＝－y，∴x∈3思维升华

平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．

(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．

(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．

如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD→2→→分别交于E，F两点，且交对角线AC于K，其中，AE＝AB，AF＝510，

B.31－，0

D.3

1→→→AD，AK＝λAC，则λ的值为(

) 22222A.

B.

C.

D.

9753答案

A →2→→1→解析

∵AE＝AB，AF＝AD，

52→5→→→∴AB＝AE，AD＝2AF. 2由向量加法的平行四边形法则可知，

→→→AC＝AB＋AD，

→→→→∴AK＝λAC＝λ(AB＋AD) 5→→AE＋2AF

＝λ25→→＝λAE＋2λAF，

22由E，F，K三点共线，可得λ＝，故选A. 9题型三

共线定理的应用

例4

设两个非零向量a与b不共线，

→→→(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

→→→(1)证明

∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，

→→→∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b) →＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB. →→∴AB、BD共线，又∵它们有公共点B，

∴A、B、D三点共线．

(2)解

∵ka＋b和a＋kb共线，

∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，

即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a、b是两个不共线的非零向量，

∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1. 思维升华

(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，

当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a、b不共线．