3.1.2 概率的意义教学实录

概率的意义

南安二中：黄智勇

一、教学目标

1．核心素养

通过随机事件概率的学习.初步形成数据分析能力与抽象概括的能力. 2．学习目标

（1）了解随机事件发生的不确定性. （2）理解随机事件的规律性. （3）进一步理解概率的意义. （4）利用概率的意义解释生活中的事例. 3．学习重点

频率与概率的关系,对概率含义正确理解. 4．学习难点

频率与概率的关系,对概率含义正确理解．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

任务1 阅读教材P108，思考：如何判定一个事件是必然事件、不可能事件还是随机事件？随机事件说法中“同样的条件下”能否去掉？请举例说明.

任务2 阅读教材P113—118. 明白概率的意义及其在生活中的指导性作用! 2．预习自测

1．指出下列事件哪些是必然事件. A.某地1月1日刮西北风；

B.当x是实数时，x2≥0;

C.手电筒的电池没电，灯泡发亮；

D.一个电影院某天的上座率超过50%. 解：B 2．某种新药在使用的患者中进行调查的结果如下表：

调查患者人数100 85 200 180

1 / 13

n

用药有效人数500 435 1000 884 2000 1761

m

有效频率m/n

0.850 0.900 0.870 0.884 0.8805 请填写表中有效频率一栏，则该药的有效概率是多少？

A．84% 解：C （二）课堂设计

1．知识回顾

（1）必然事件：有些事件我们事先能肯定其一定会发生；

（2）不可能事件：有些事件我们事先能肯定其一定不会发生；

（3）随机事件：有些事件我们事先无法肯定其会不会发生；

（4）举出现实生活中随机事件，必然事件，不可能事件的案例．

B．87%

C．88%

D．90%

2．问题探究

问题探究一

创设情景，体会随机事件发生的不确定性（★▲）

●活动一

“麦蒂的35秒奇迹”

在火箭队与马刺队的篮球比赛中,麦蒂在最后几十秒已经连续投进了三个三分球,并且在最后关头抢断成功,推进到前场,在距离比赛结束还有1.7秒时再次投出三分球! 为什么在那个时刻,所有人都紧张的注视着麦蒂和他投出的篮球

?你能确定神奇的麦蒂在即将开始的NBA比赛中的下一个三分球投进? ●活动二

“石头，剪刀，布”

再看看我们身边的实例，两名同学想看同一本好书，于是采用“石头，剪刀，步”的方式来决定谁先看，那么能预测这两名同学认赢吗？

问题探究二

重复实验，体会随机事件的规律性．（★▲）

●活动一

抛掷硬币试验

抛掷硬币试验结果表：

抛掷次数（n）

2048 4040 12000 24000 30000 72088 正面朝上次数（m）

1061 2048 6019 12012 14984 36124

2 / 13

频率（m/n）

0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4996 0.5011

当抛掷次数很多时，出现正面的频率值是稳定的，接近于常数0.5，并在它附近摆动

●活动二

某批乒乓球产品质量检查试验：

抽取球数n

优等品数50 45 0.9 100 92 0.92 200 194 0.97 500 470 0.94 1000 954 0.954 2000 1902 0.951 m

频率m/n

当抽查的球数很多时，抽到优等品的频率接近于常数0.95，并在它附近摆动. ●活动三

某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表：

每批粒数n

2 5 4 10 9 70 60 130 116 0.89 310 282 0.91 700 639 0.91 1500 1339 0.89 2000 1806 0.90 3000 2715 0.90 发芽的粒数m

2 发芽的频率m/n

1 0.8 0.9 0.85 当试验的油菜籽的粒数很多时，油菜籽发芽的频率接近于常数0.9，并在它附近摆动

●活动四

反思活动，感知随机事件的规律性.

通过上述三个大量重复性实验，你能发现随机事件具有什么规律性吗？

一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率.

问题探究三

创设生活实例，深化概率意义的理解．（▲）

m总是接近某个常数，在它附n

●活动一

彩票中奖问题

若某种彩票准备发行1000万张，其中1万张可以中奖，则买一张这种彩票的中奖的概率是多少？买1000 张的话是否会中奖？

分析：中奖的概率为1/ 1000;不一定中奖，因为买彩票是随机的，每张彩票都可能中奖也可能不中奖，买彩票中奖概率为1/1000是指试验次数相当大，即随着购买彩票的数量增加，大约有1/1000的彩票中奖.

●活动二

游戏的公平性问题

某中学在高一年级的二、三班中任选一个班参加社区服务活动，有人提议用如下方法选班：掷两枚硬币，正面朝上的记作2点，反面向上记作1点，两枚硬币的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？

分析：不公平，记(x,y)中的x,y分别代表两枚硬币的点数，则有(1,1)，(1,2)，(2,1), (2,2)。试验的结果共有4种，而点数为3的占了2种，点数为2和4的各点1种。因此，每个班被选

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中的概率是不相等的，因此是不公平的。

问题探究四，实例分析，感知概率的指导意义．（▲）

●活动一

决策中的概率思想

根据下面的游戏规则：现有不透明的两个袋子，甲袋中有99个红球1个黑球，乙袋中有1个红球99个黑球。今随机地从一袋中抽取一球。若随机抽取的是红球，问这个球可能是从哪一个袋子中取出的?

分析：从甲袋中随机的抽取一球，是红球的概率是99/100,从乙袋中随机抽取一球，是红球的概率为1/100. 因为从甲袋中抽取红球的概率比乙袋抽取红球的概率要大。由极大似然法，既然甲袋提到红球的概率要远大于乙袋中抽到红球的概率，因此我们可以认为是从概率大的袋子中取得的。所以我们可以作推断：该红球是从甲袋中取得. 例1. 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？

（1）“抛一石块，下落”.

（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；

（3）“某人射击一次，中靶”；

（4）“如果a＞b,那么a－b＞0”;

（5）“掷一枚硬币，出现正面”；

（6）“导体通电后，发热”；

（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；

（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；

（9）“没有水份，种子能发芽”；

（10）“在常温下，焊锡熔化”．

【知识点：必然事件，不可能事件，随机事件】

详解：根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件．

点拔：判断事件的类型，关键是事件要发生与否的条件. 例2. 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：

射击次数n

击中靶心次数m

击中靶心的频率m

n10 8

20 19

50 44

100 92

200 178

500 455

（1）填写表中击中靶心的频率；

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（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？

【知识点：频率

概率】

详解：（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91. （2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89。

点拔：事件A出现的频数nA与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率。求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。

例3.如果某种彩票中奖的概率为【知识点：概率的意义】

详解：不一定能中奖，因为，买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1000张彩票中可能没有一张中奖，也可能有一张、两张乃至多张中奖。

点拔：买1000张彩票，相当于1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次试验的结果也是随机的，也就是说，买1000张彩票有可能没有一张中奖。

例4 在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性。

【知识点：概率的意义】

详解：这个规则是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5。

点拔：利用概率来解释公平性时，主要是看所讨论的事件是否是等概率的。

3．课堂总结(对课堂重点、难点知识进行梳理和归纳) 【知识梳理】

(1)事件的定义：

随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；

必然事件：在一定条件下必然发生的事件；

不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件

(2)随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)．

(3)概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；

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1，那么买1000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释。

1000m总是接近n

(4)概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0P(A)1，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形

【重难点突破】

(1) 三种事件都是在“一定条件下”发生的，当条件改变时，事件的性质也可以发生变化

(2)随机事件的统计规律表现在：随机事件的频率即此事件发生的次数与试验总次数的比值具有稳定性。即总是在某个常数附近摆动，且随着试验次数不断增多，这种摆动幅度越来越小。这个常数叫做这个随机事件的概率。概率可以看作频率在理论上的期望，是概率的一种统计定义. (3)概率在实际中的应用，明确随机事件发生可能性的大小的度量是由它自身决定的，并且是客观存在的，正确认识这一点，结合背景材料，努力建立概率与实际的联系. 4．随堂检测

1.将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是（

）

A．必然事件

B．随机事件

C．不可能事件

D．无法确定

【知识点：事件的分类】

解：B 2．下列说法正确的是(

) A．如果一事件发生的概率为十万分之一，说明此事件不可能发生

B．如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件

C．事件的概率的范围是[0,1]. D．如果一事件发生的概率为99.999％，说明此事件必然发生. 【知识点：概率的性质】

解：C 3．一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下：

时间范围

新生婴儿数

男婴数

男婴出生的频率

1年内

5544 2883

2年内

9607 4970

3年内

13520 6994

4年内

17190 8892

（1）填写表中男婴出生的频率（结果保留到小数点后第3位）；

（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？

【知识点：频率

概率】

解：（1）表中依次填入的数据为：0.520，0.517，0.517，0.517.

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（2）由表中的已知数据及公式fn（A）=nA即可求出相应的频率，而各个频率均稳定在常数0.518n上，所以这一地区男婴出生的概率约是0.518．

4．生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了。”学了概率后，你能给出解释吗？

【知识点：概率的意义】

解：天气预报的“降水”是一个随机事件，概率为90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率，我们知道：在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的。

（三）课后作业

基础型

自主突破

1.某人将一枚硬币连续的抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的

A.概率为23

B.频率为

C.频率为6

D.概率接近0.6 35【知识点：频率

概率】

解

: B 2.给出下列四个命题

①集合{x||x|0}是空集是必然事件;

②yf(x)是偶函数，则f(0)0是随机事件; ③若loga(x1)0,则x1是必然事件;

④对顶角不相等是不可能事件. 其中正确命题的个数是

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

【知识点：必然事件, 随机事件, 不可能事件】

解：D 3.“老师讲一道数学题,李峰能听懂的概率为0.8”,是指

A.老师讲一道题，该题有80%的部分听懂，20%的部分听不懂

B.在老师讲的10道题中，李峰能听懂8道

C.李峰能听懂老师所讲这道数学题的可能性是80% D.以上解释都不对

【知识点：概率的意义】

解：C

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334.事件A发生的概率是5，则5表示的是__________．

【知识点：概率】

解：

事件A发生的可能性的大小

能力型

师生共研

5.“连续抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的结果共有

A.6种

B.12种

C.24种

D.36种

【知识点：随机事件】

解：D 6.在下列事件中，发生的可能性最大的为(

) A.任意买一张电影票，座号是奇数

B.掷1枚骰子，点数小于等于2 C.买10000张彩票，其中100张是获奖彩票，从中随机买1张是获奖彩票

D.一袋中装有8个红球，2个白球，从中随机摸出1个球是红球

【知识点：概率的意义】

解：D 7.某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”你认为下面两个解释中哪一个能代表教练的观点_________. ①该射击运动员射击100次，恰有90次击中目标. ②该射击运动员射击1次，中靶的机会是90% 【知识点：概率的意义】

解：②

8．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. （1）完成如下的频率分布表：

近20年六月份降雨量频率分布表

降雨量

频率

70

120

110

140

420

160

200

220

220

（2）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．

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【知识点：频率，概率，互斥事件的概率;数学思想：数学建模】

解:（1）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为

降雨量

频率

70

120

110

320

140

420

160

720

200

320

220 220

X（2）由已知得Y＝2＋425，故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P(Y＜4901323或Y＞530)＝P(X＜130或X＞210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝20＋20＋20＝10. 探究型

多维突破

9．下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，问其中不公平的游戏是（

）

游戏1

游戏2

1个黑球和1个白球

游戏3

2个黑球和2个白球

3个黑球和1个白球

取1个球，再取1个球

取出的两个球同色→甲胜

取1个球

取出的球是黑球→甲胜

取1个球，再取1个球

取出的两个球同色→甲胜

取出的两个球不同色→乙胜

取出的两个球不同色→乙取出的球是白球→乙胜

胜

A．游戏1和游戏3

B．游戏1

C．游戏2

D．游戏3

【知识点：概率，概率的意义，古典概率；】

解：D

因为每上游戏都是从袋中无放回地取球，所以游戏1：甲胜的概率为111, 22111,乙胜的概率为1,则游戏2公平; 游戏3: 甲胜的概2221,乙胜的概率为2则游戏1公平;游戏2: 甲胜的概率为率为2112,乙胜的概率为1,则游戏3不公平. 6333自助餐

1．已知非空集合A、B满足AB，给出以下四个命题：

①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；

②若x∉A，则x∈B是不可能事件；

③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；

④若x∉B，则x∉A是必然事件．其中正确的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 【知识点：随机事件，必然事件，不可能事件,子集，】

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解

C：①③④正确，②是随机事件．

2．下列说法正确的是（

）

（A）一颗质地均匀的骰子已连续掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点

（B）某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该彩票一定会中奖

（C）天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨

（D）抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等

【知识点：概率的意义】

解：D 3.将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是(

)．

A．必然事件

C．不可能事件

B．随机事件

D．无法确定

【知识点：随机事件，必然事件，不可能事件】

解：B mm4．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为n，当n很大时，P(A)与n的关系是(

)．

mA．P(A)≈n

mC．P(A)＞n

【知识点：频率,概率】

解

A.

事件A发生的概率近似等于该频率的稳定值．

5．下列说法错误的是（

）

A．必然发生的事件发生的概率为1

B．不可能发生的事件发生的概率为0 C．随机事件发生的概率大于0且小于1

D．不确定事件发生的概率为0 【知识点：概率的意义】

解：D 6.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(

) A．134石

B．169石

C．338石

D．1 365石

【知识点：频率】

x28解

B. 设1 534石米内夹谷x石，则由题意知1 534＝254，解得x≈169.故这批米内夹谷约为169

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mB．P(A)＜n

mD．P(A)＝n

石．

7．某城市2011年的空气质量状况如下表所示：

污染指数T [0,30]

(30,60]

(60,100]

(100,110]

概率P

其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50

(

) 3A.5

11B.180

C.19

5D.6

110

16

13

730

215

130

(110,130]

(130,140] 【知识点：频率,概率】

1113解

A ：空气质量达到良或优，即T≤100，故所求概率P＝10＋6＋3＝5. 8.利用简单随机抽样法抽查某校150名男学生，其中身高为1.65米的有32人，若在此校随机抽查一名男同学，则它的身高为1.65米的概率大约为________ 【知识点：频率,概率】

解：0.21 9.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%;一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%。通过抽样的方法获得去年200例类似项目开发实施的结果是：投资成功的占92次，投资失败的占8次。那么该公司一年后估计可获收益的平均数为________元

【知识点：频率,概率，概率的意义】

解：4760 10．某市统计的2008～2011年新生婴儿数及其中男婴数(单位：人)见下表：

时间

新生婴儿数

男婴数

2008年

2009年

2010年

2011年

21840

11 453

23 070

12 031

20 094

10 297

19 982 10 242 (1)试计算男婴各年的出生频率(精确到0.001)；

(2)该市男婴出生的概率约是多少？

【知识点：频率,概率】

nA11 453解

(1)2008年男婴出生的频率为fn(A)＝n＝21 840≈0.524.

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同理可求得2009年、2010年和2011年男婴出生的频率分别约为0.521、0.512、0.513. (2)由以上计算可知，各年男婴出生的频率在0.51～0.53之间，所以该市男婴出生的概率约为0.52. 11．对一批衬衣进行抽样检查，结果如表：

抽取件数n 50

100

200

500

次品件数m m次品率n

(1)求次品出现的频率．

(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)．

(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？

【知识点：频率,概率】

解：

(1)次品率依次为：0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05 m(2)由(1)知，出现次品的频率n在0.05附近摆动，故P(A)＝0.05. (3)设进衬衣x件，则x(1－0.05)≥1 000，解得x≥1 053.故至少需进货1 053件．

12.某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：

A配方的频数分布表

指标值分组

频数

[90，94）

8 [94，98）

20 [98，102）

[102，106）

[106，110] 42 22 8 0

2

12

27

27

35

40 600

700

800 B配方的频数分布表

指标值分组

频数

[90，94）

4 [94，98）

12 [98，102）

[102，106）

[106，110] 42 32 10 （I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

（II）已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为

2,t94y2,94t102

4,t102

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估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．

【知识点：频率,概率,平均数】

解：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为的产品的优质品率的估计值为0.3．

由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为品的优质品率的估计值为0.42 （Ⅱ）由条件知用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96. 用B配方生产的产品平均一件的利润为1(4(2)542424)2.68（元）

10032100.42，所以用B配方生产的产100228=0.3，所以用A配方生产100

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