复习参考题优秀获奖教案

第一节

平面向量的概念及线性运算

考纲展示

1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念和两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

1．(2015四川文，T2)设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝(

) A．2

B．3

C．4

D．6 【答案】B 【解析】由向量平行的坐标运算可知，2×6＝4x，则x＝3.故选B. →→2．(2015新课标全国Ⅰ理，T7)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则(

) 1→4→→A.AD＝－AB＋AC

33→4→1→C.AD＝AB＋AC

33【答案】A 1→4→→→→→1→→1→→【解析】由题知AD＝AC＋CD＝AC＋BC＝AC＋(AC－AB)＝－AB＋AC.故选A. 33333．(2016新课标Ⅱ) 已知向量a＝(m，4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.

【答案】－6

【解析】因为a∥b，所以－2m－4×3＝0，解得m＝－6.

向量的有关概念

名称

向量

零向量

单位向量

平行向量

共线向量

名称

相等向量

相反向量

向量

运算

加法

定义

既有①__大小__又有②__方向__的量；向量的大小叫做向量的③__长度__(或称模) 长度为④__0__的向量；其方向是任意的

长度等于⑤__1个单位__的向量

方向⑥__相同__或⑦__相反__的非零向量

⑧__方向相同或相反__的非零向量

定义

长度⑨__相等__且方向⑩__相同__的向量

11__相等__且方向○12__相反__的向量

长度○考查形式

考题链接

选择题

填空题

(2016新课标Ⅱ，5分) (2015四川文，T2，5分) (2015新课标全国Ⅰ理，T7，5分)

→1→4→

B.AD＝AB－AC

33→4→1→

D.AD＝AB－AC

33

备注

平面向量是自由向量

记作0 a非零向量a的单位向量为±

|a|13__平行__或共0与任一向量○线

备注

两向量只有相等或不等，不能比较大小

0的相反向量为0 向量的线性运算

定义

求两个向量和的运算

法则

(或几何意义) 运算律

(1)交换律：

a＋b＝b＋a；

①三角形法则

②平行四边形法则

求a与b的相反向量－b的和的运算

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法

③三角形法则

(1)|λa|＝|λ|·|a|；

(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 a－b＝a＋(－b) 数乘

求实数λ与向量a的积的运算

(1)λ(μa)＝

(λμ)a；

(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb

共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.

【易错防范】

1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．

2．在向量共线的条件中易忽视“a≠0”，使λ可能不存在，也可能有无数个．

3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．

◆即时微练

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行．(

√

) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(

×

) →→(3)向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(

×

) (4)若a∥b，则∈R使b＝λa.(

×

) →1→→(5)在△ABC中，D是BC的中点，则AD＝(AC＋AB)．(

√

) 22．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则→→a＝b；③向量AB与BA相等．则所有正确命题的序号是(

) A．①

B．③

C．①③

D．①②

【答案】A 【解析】根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，→→但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB与BA互为相反向量，故③错误．故选A. 3．如图所示，向量a－b等于(

)

A．－4e1－2e2

B．－2e1－4e2

C．e1－3e2

D．3e1－e2

【答案】C →【解析】由题图可得a－b＝BA＝e1－3e2.故选C. 4．(教材习题改编)已知→→→的对角线AC和BD相交于O，且OA＝a，OB＝b，则DC→＝________，BC＝________(用a，b表示)．

【答案】b－a

－a－b

→→→→【解析】如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，

→→→→→BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.

5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________. 1【答案】－

3【解析】由已知，得a＋λb＝－k(b－3a)，

1λ＝－，3λ＝－k，∴解得

13k＝1，k＝.3高频考点一

向量的基本概念

【典例1】给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，→→则“AB＝DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________．

【答案】②③

【解析】①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．

→→→→→→②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC，又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴→→→→四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB∥DC且|AB|＝|DC→→→→|，可得AB＝DC.故“AB＝DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件．

③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.

④不正确．由a＝b可得|a|＝|b|且a∥b；由|a|＝|b|且a∥b可得a＝b或a＝－b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．

综上所述，正确命题的序号是②③.故填②③.

◆微技探究

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它aa与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量．

|a||a|◆即时微练

1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D. 高频考点二

平面向量的线性运算

微考点一

向量的线性运算

→→【典例2－1】

(1)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC等于(

) 1→→A.AC

B.AD

21→→C.AD

D.BC

2→→→→→(2)在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD等于(

) 2152A.b＋c

B.c－b

33332112C.b－c

D.b＋c

3333【答案】(1)C

(2)A 1→→→→1→→1→→→【解析】(1)EB＋FC＝(AB＋CB)＋(AC＋BC)＝·(AB＋AC)＝AD.故选C. 222→→→→→→→→(2)∵BD＝2DC，∴AD－AB＝BD＝2DC＝2(AC－AD)．

→→→→2→1→21∴3AD＝2AC＋AB.∴AD＝AC＋AB＝b＋c.故选A. 3333微考点二

根据向量线性运算求参数

→→→1→→【典例2－2】

(1)在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，3则λ等于(

) 2112A.

B.

C．－

D．－

3333→→(2)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，→→→D不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是(

)

10，

A.2

10， B.3

11－，0

D.－，0

C.23【答案】(1)A

(2)D →→→→→→【解析】(1)∵AD＝2DB，即CD－CA＝2(CB－CD)，

2→1→2→∴CD＝CA＋CB.∴λ＝.故选A. 333→→→→→→→→→→→→(2)设CO＝yBC，∴AO＝AC＋CO＝AC＋yBC＝AC＋y(AC－AB)＝－yAB＋(1＋y)AC. →→∵BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，

10，. ∴y∈31→→→－，0.故选D. ∵AO＝xAB＋(1－x)AC，∴x＝－y.∴x∈3◆微技探究

平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．

(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．

(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值或范围．

◆即时微练

2．如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对→2→→1→→→角线AC于点K，其中，AE＝AB，AF＝AD，AK＝λAC，则λ的值为(

) 52

2A.

9【答案】A →2→→1→→5→→→【解析】∵AE＝AB，AF＝AD，∴AB＝AE，AD＝2AF. 522由向量加法的平行四边形法则可知，

5→5→→→→→→→→→→AE＋2AF＝λAE＋2λAF. AC＝AB＋AD，∴AK＝λAC＝λ(AB＋AD)＝λ2252由E，F，K三点共线，可得λ＋2λ＝1，λ＝，故选A. 29高频考点三

共线向量定理的应用

【典例3】设两个非零向量a与b不共线．

→→→(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；

2

B.

7

2C.

52

D.

3

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

→→→【解】(1)证明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，

→→→→→→∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB.∴AB，BD共线．又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．

(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量，

∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0.∴k＝±1. ◆微技探究

(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立．

◆即时微练

→→3．已知向量i与j不共线，且AB＝i＋mj，AD＝ni＋j.若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是(

) A．m＋n＝1

B．m＋n＝－1 C．mn＝1

D．mn＝－1 【答案】C →→【解析】由A，B，D共线可设AB＝λAD，于是有i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.又i，j不共λn＝1，线，因此

即有mn＝1.故选C. λ＝m，4．(2017届江苏南京模拟)如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，11→→→→Q，设OP＝mOA，OQ＝nOB，m，n∈R，则＋的值为________．

nm

【答案】3

1→→→21→→→→→【解析】设OA＝a，OB＝b，由题意知OG＝×(OA＋OB)＝(a＋b)，PQ＝OQ－OP＝32311→→→→→－ma＋b，nb－ma，PG＝OG－OP＝由P，G，Q三点共线，得存在实数λ，使得PQ＝λPG，3311－ma＋λb，

即nb－ma＝λ33从而1n＝3λ，1－m＝λ3－m，11

消去λ，得＋＝3. nm

思想方法

方程思想在平面向量线性运算中的应用

→1→→1→→【典例】如图所示，在△ABO中，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC相交于点M，设OA42→→＝a，OB＝b.试用a和b表示向量OM.

【思路点拨】(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去求解．

→(2)既然能用a、b表示，那我们不妨设出OM＝ma＋nb. (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解．

→【解】设OM＝ma＋nb，

→→→则AM＝OM－OA＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb. 1→→→1→→AD＝OD－OA＝OB－OA＝－a＋b. 22→→又∵A、M、D三点共线，∴AM与AD共线．

→→∴存在实数t，使得AM＝tAD，

1－a＋b. 即(m－1)a＋nb＝t21∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb. 2m－1＝－t，∴消去t，得m－1＝－2n，

tn＝.211→→→m－a＋nb，

即m＋2n＝1.①又∵CM＝OM－OC＝ma＋nb－a＝4411→→→CB＝OB－OC＝b－a＝－a＋b. 44

→→又∵C、M、B三点共线，∴CM与CB共线．

11m－＝－t，11→→441

m－a＋nb＝t1－a＋b，∴∴存在实数t1，使得CM＝t1CB，∴44n＝t1.消去t1，得4m＋n＝1.②

13→13由①②，得m＝，n＝，∴OM＝a＋b.

7777◆微技探究

(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．

◆即时微练

(2017届陕西西安模拟)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ的值为________．

【答案】1 【解析】由于c与d同向，所以c＝kd(k＞0)．于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理，得λaλ＝k，＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有整理，得2λ2－λ－1＝0，所以λ2λk－k＝1.1＝1或λ＝－.又因为k＞0，所以λ＞0，故λ＝1. 2课时微训练一

平面向量的概念及线性运算

基础训练题组

一、选择题

1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(

) →→→→→→A.EF＝OF＋OE

B.EF＝OF－OE

→→→→→→C.EF＝－OF＋OE

D.EF＝－OF－OE

【答案】B →→→【解析】由下图可知EF＝OF－OE.故选B.

→→→2．(2017届广东汕头模拟)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF等于(

)

A．0

【答案】D →→→→→→→→→【解析】因为ABCDEF是正六边形，故BA＋CD＋EF＝DE＋CD＋EF＝CE＋EF＝CF.

→

B.BE

→C.AD

→

D.CF

故选D. 3．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．故选A. 4．(2017届河南开封模拟)下列命题中，正确的是(

) A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b

B．若a·b＝0，则a＝0或b＝0

C．若ka＝0，则k＝0或a＝0

D．若a，b都是非零向量，则|a＋b|＞|a－b|

【答案】C 【解析】对于A，显然不能得知a＝b或a＝－b，因此选项A不正确；对于B，易知不正确；对于C，易知正确；对于D，注意到(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b，显然a·b与零的大小关系不确定，因此选项D不正确．综上所述，选C. →→5．如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB＝a，AC→＝b，则AD＝(

)

1A．a－b 21C．a＋b 2【答案】D →1→1【解析】连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD＝AB＝a，

221→→→所以AD＝AC＋CD＝b＋a.故选D. 2二、填空题

6．(2017届浙江湖州月考) 已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且111→→→1→→→BC＝a，CA＝b，给出下列命题：①AD＝a－b；②BE＝a＋b；③CF＝－a＋b；④AD＋2222→→BE＋CF＝0. 其中正确命题的个数为________．

【答案】3

1→→→1→→【解析】BC＝a，CA＝b，AD＝CB＋AC＝－a－b，故①错；

22

1B.a－b

21D.a＋b

2

1→→1→BE＝BC＋CA＝a＋b，故②正确；

22111→1→→CF＝(CB＋CA)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；

22221111→→→∴AD＋BE＋CF＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，故④正确，

2222∴正确命题为②③④. 7．在a，b表示)．

11【答案】－a＋b

441→→→→→→→→3【解析】由AN＝3NC，得4AN＝3AC＝3(a＋b)，AM＝a＋b，所以MN＝AN－AM＝(a24111a＋b＝－a＋b. ＋b)－244→→→8．(2017届山东泰安模拟)设a，b是两个不共线向量，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．

【答案】－1 →→→【解析】∵BD＝BC＋CD＝2a－b，又A，B，D三点共线，

2＝2λ，→→∴存在实数λ，使AB＝λBD.即∴p＝－1. p＝－λ，→→→→→中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用三、解答题

9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，→→→→设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.

11→1→→【解】AD＝(AB＋AC)＝a＋b；

222→→→→2→→1→→AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC) 332→1→→1→1→11＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b. 33333310．(2017浙江杭州二中调研)已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？

【解】∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，

要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，

2λ＋2μ＝2k，即

得λ＝－2μ.

－3λ＋3μ＝－9k，

故存在这样的实数λ，μ，

只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．