探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教案评析

正弦型函数f (x ) =A sin (ωx +ϕ) 的周期

一、教学目标

1. 通过学习，让学生掌握正弦型函数周期的推导过程，进而会求

解正弦型函数的周期. 2. 通过学习，让学生体会到整体代换的方法在数学中的重要性，使学生能够熟练并灵活运用它. 3. 通过正弦函数周期公式的推导过程，让学生感受到数学的美，从而加强学习数学的兴趣. 二、教学重难点

重点：1. 正弦型函数周期的推导过程. 2. 正弦型函数周期的计算公式. 3. 整体代换的数学方法. 难点：正弦型函数周期的推导过程. 三、教学过程

1. 复习旧知，引入新课

师：通过前面的学习我们知道，如果一个函数f (x ) 的周期为T =a (a ≠0) ，则它应该满足怎么样的关系呢？

生：满足f (x ) =f (x +a ) . （设计意图：通过复习，使学生在后面的式子f (x ) =f (x +) 清楚的里得出周期）

师：学习三角函数时，我们首先学习了正弦函数f (x ) =sin x 和余弦型函数f (x ) =cos x ，通过描画它们的图像得知，它们的周期都是T =2π，

根据上面的周期公式式子，它们应该满足什么关系呢？

生：满足sin x =sin (x +2π) 、cos x =cos (x +2π) .

（设计意图：为后面推导正弦型函数的周期奠基基础）

师：上一节课我们学习了正弦型函数

f (x ) =A sin (ωx +ϕ) （其中A , ω, ϕ为常数, 且A ≠0, ω>0, x ∈R ），通过学习我们知道，它与正弦函数f (x ) =sin x 有着密切的联系，那么正弦型函数有没有周期呢？，如果有，它该怎么样求解呢？所以本节课我们在正弦函数f (x ) =sin x 基础上来讨论一下它的周期. （设计意图：让学生知道这两个函数之间的联系，为后面整体代换方法的应用提供依据）

2. 教师讲解，学习主题

首先我们写出正弦型函数

f (x ) =A sin (ωx +ϕ) ，x ∈R . 师：我们如何把它转化为我们熟悉的正弦函数了？大家还记得我们在解方程y 4-2y 2+1=0时是如何解得？

生：我们令y 2=t ，使方程变成我们熟悉的一元二次方程t 2-2t +1=0来求解的. （设计意图：让学生复习整体代换的数学方法，为下面把正弦型函数转化为正弦函数提供基础）

师：我们如何把f (x ) =A sin (ωx +ϕ) 转化成我们熟悉的正弦函数？

生：令

z =ωx +ϕ，z ∈R （设计意图：让学生感受到成功的喜悦，增强学习的自信心）

师：上面一步我们运用了数学一个非常重要的方法整体代换的方法，可见，通过这种方法会把不熟悉的东西变成我们熟悉的东西，通过代换则有f (x ) =A sin z 即变成了我们非常熟悉的正弦函数. （设计意图：让学生再次体会整体代换的方法，为得出结论做出铺垫）

师：我们知道正弦函数的周期为T =2π，那么我们能得到什么式子？

生：f (x ) =A sin z =A sin (z +2π) =f (x +2π)

师：我们再把它还原过来，有

f (x ) =A sin (ωx +ϕ) =A sin (ωx +ϕ+2π)

n x +ϕ) 保持一致，我们把A sin (ωx +ϕ+2π) 写成为了和A s i (ω

A s i (ωn x +2π+ϕ) . 师：我们知道f (x ) =A sin (ωx +ϕ) 中函数的自变量为x ，那么f (x ) =A sin (ωx +2π+ϕ) 中函数的自变量是什么？

生：是x +2π

ω.

（设计意图：为得出最后结论而做铺垫，为学生自己得出总结而理清思路）

师：于是有

f (x ) =A sin (ωx +ϕ) =A sin (ωx +ϕ+2π)

=A sin (ωx +2π+ϕ) π) +ϕ] =A sin [ω(x +2=f (x +) .

即有f (x ) =f (x +) ，那么它的周期应是多少？

2π 生：是ω. 3. 得出结论

一般地，正弦型函数

f (x ) =A sin (ωx +ϕ) 的周期为T =（其中A , ω, ϕ为常数, 且A ≠0, ω>0, x ∈R ）. 4. 例题讲解，深化主题

求下列函数的周期. x ∈R ；

y =2sin （1），

+x ∈R ；

y =sin （2），) （3）y =sin x cos 3π+cos x sin 3π，x ∈R ；

（4）y =sin x +cos x ，x ∈R . 5. 课堂小结，巩固反思

本节课我们学习了正弦型函数的周期求解公式以及它的推导过程，再次体会了一类非常重要的数学方法，整体代换的方法，为以后的数学学习奠定基础.